【2017年整理】塑性力学_第三章应变状态.docVIP

第三章 应变状态 PAGE PAGE 63 应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。 3.1 位移与线元长度、方向的变化 1.1坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴()上的投影为()，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(、)，这些位移分量可看作是坐标()的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即 (3.1-1) 上式中函数、以及它们对坐标()的偏导数假设是连续的，则式(3.1-1)确定了变量()与之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1)可看成是坐标的一个变换。 如果在(3.1-1)中，假设，则由(3.1-1)式可得如下三个方程 (3.1-2) 式(3.1-2)决定了一条曲线，曲线上各点，在物体变形前为平行于轴的直线()上(图3.1)。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标()末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。 由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange法Euler 法。Lagrange描述法是用变 形前的坐标 ()做自变 量，而Euler法则是用变形 后的坐标做自变量。 在固体力学中，通常物 体的初始形状、固定情况以 及载荷是一定的，需要确定 的是物体各点的位移、 和应力。对于小变形一 般采用Lagrange坐标法；而 对于大变形有时用Euler法。 在数值计算中，通常采用矢量 来表示，因为要计算变形前后 两次应变的变化，所以用Euler 法比较方便。在以后的讨论中， 我们采用Lagrange坐标法。 图 3.1 变形表示法 1.2 变形体的应变 设物体中变形前相距十分近的两点，变形后移位至。变形前的坐标分别为，，变形后的坐标分别。那么，矢量所表示的线元在物体变形后由矢量表示线元。那么，和的平方为 (a) (b) 根据(3.1-1)式，点在方向有 (c) 此处是因两点所产生的增量，将其在()处展开为Taylor级数，即 (d) 略去(d)式中的高阶微量(，…，并将(d)式代入(c)式，则可得 由(3.1-1)式知，,所以 (3.1-3a) 同理可得 (3.1-3b) (3.1-3)式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算与之差，于是由(a)式和(e)式可得 (f) 式中 (3.1-4) 式(3.1-4)实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。如果知道了变形体各点的位移，则可由该式求得各点的应变分量，式(3.1-4)可采用张量表示为 (3.1-5) 1.3线元的长度变化 引入符号 (3.1-6) 是点和N间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比．我们把这个量称作点在点N方