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【2017年整理】塑性力学_第三章应变状态
第三章 应变状态
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应变状态理论
在外力、温度变化或其他因素作用下,物体内部各质点将产生位置的变化,即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置,则物体实际上只发生了刚体平移和转动,这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置,则物体同时也产生了形状的变化,其中包括体积改变和形状畸变,物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形,它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置,确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题,并不涉及物体变形的原因,也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。
3.1 位移与线元长度、方向的变化
1.1坐标与位移
设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴()上的投影为(),又设物体上各点得到一位移,并在同一坐标轴上的投影为(、),这些位移分量可看作是坐标()的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即
(3.1-1)
上式中函数、以及它们对坐标()的偏导数假设是连续的,则式(3.1-1)确定了变量()与之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点,因此式(3.1-1)是单值的,所以式(3.1-1)可看成是坐标的一个变换。
如果在(3.1-1)中,假设,则由(3.1-1)式可得如下三个方程
(3.1-2)
式(3.1-2)决定了一条曲线,曲线上各点,在物体变形前为平行于轴的直线()上(图3.1)。由此可见,变形前物体上与坐标轴平行的坐标线,在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说,如果用没有变形状态的坐标()末表征物体上各点的位置,到变形终了状态将是曲线坐标;反之,如果用表示各点的坐标,则对巳变形物体是笛卡尔坐标,而对于变形前的物体将是曲线坐标。
由以上可见,描述连续介质变形的方法有上述两种,分别称为Lagrange法Euler
法。Lagrange描述法是用变
形前的坐标 ()做自变
量,而Euler法则是用变形
后的坐标做自变量。
在固体力学中,通常物
体的初始形状、固定情况以
及载荷是一定的,需要确定
的是物体各点的位移、
和应力。对于小变形一
般采用Lagrange坐标法;而
对于大变形有时用Euler法。
在数值计算中,通常采用矢量
来表示,因为要计算变形前后
两次应变的变化,所以用Euler
法比较方便。在以后的讨论中,
我们采用Lagrange坐标法。 图 3.1 变形表示法
1.2 变形体的应变
设物体中变形前相距十分近的两点,变形后移位至。变形前的坐标分别为,,变形后的坐标分别。那么,矢量所表示的线元在物体变形后由矢量表示线元。那么,和的平方为
(a) (b)
根据(3.1-1)式,点在方向有
(c)
此处是因两点所产生的增量,将其在()处展开为Taylor级数,即
(d)
略去(d)式中的高阶微量(,…,并将(d)式代入(c)式,则可得
由(3.1-1)式知,,所以
(3.1-3a)
同理可得
(3.1-3b)
(3.1-3)式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算与之差,于是由(a)式和(e)式可得
(f)
式中
(3.1-4)
式(3.1-4)实际上就是应变在各坐标方向的分量,它是非线性的。如果知道了变形体各点的位移,则可由该式求得各点的应变分量,式(3.1-4)可采用张量表示为
(3.1-5)
1.3线元的长度变化
引入符号
(3.1-6)
是点和N间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比.我们把这个量称作点在点N方
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