第5套量子力学自测题.docVIP

量子力学自测题5 填空题（本题20分） 1．Planck的量子假说揭示了微观粒子 特性，Einstein的光量子假说揭示了光的 性。Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了原子的 的起源问题。 2．力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是 。 二、（本题15分） 1．设算符具有性质。求证： （1）本征值必为实数。 （2） （3）的本征值为0或者1。 2．利用对易式，求证：，，其中，为Pauli矩阵。 三、（本题15分） 1．设氦原子中的两个电子都处于1s态，（不简并）两个电子体系的空间波函数为 （1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数。（）（同时考虑空间自 由度和自旋自由度）。 2．一电子处于自旋态，求： （1）在自旋态下，的可能测值与相应的几率。 （2）在自旋态下，的可能测值与几率。 四、（本题15分） 设一个类氢离子的电荷数由Z变成Z+1，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为 ， 计算时，可利用积分公式。 五、（本题20分） 设一维谐振子的能量本征函数为，求： （1）动量在态下的平均值。 （2）动能在态下的平均值。如有必要，可以利用 六、（本题15分）设一量子体系的Hamilton量为 而且，，试利用微扰法计算体系能量的一，二级修正值。 量子力学自测题5参考答案 一、填空题 1．能量的量子化，粒子，稳定性，线光谱 2．厄米，实数，该力学量的本征值，该力学量的某一本征态，态的叠加，两个力学量算符对易 二、1．证明 （1）因为，所以是一个厄米算符，它的本征值必为实数。 （2）。 （3）设的本征值为n，本征矢量为，则因为 所以 从而得到n2-n=0,可见，的本征值为n=0或n=1。 2．证明 由 得 即 （1） （1）式的两边左乘得， 右乘得， 两式相加得 这就是说， 完全相同的方法可以证明， ， 三、1．解 (1)四个可能的自旋态有， （2）因为空间波函数对的交换对称，对两个电子的交换反对称的总体波函数为： 2．解 （1）在自旋态下，的可能测值为或-，相应的几率分别为。 （2）把自旋态写成 可见，自旋态正是的本征值为的本征态，因此的测值为，几率为1。 四、解 类氢离子的Hamilton量为 当时，体系的Hamilton量变为 其中 因此，能量的一级修正值 在计算中利用了积分公式 因此，基态能量的一级近似值是 五、解 （1）利用 （2）谐振子的动能的平均值 利用 可以得到 因此， 六、解 先把Hamilton量分解成，其中 ， 很容易看出，能量的一级修正值 ，， 二级修正值 ，