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第2章信号与噪声(习题答案)
信号与噪声
1.随机过程，其中是广义平稳随机过程，且自相关函数为：
是服从均匀分布的随机变量，它与彼此统计独立。
证明是广义平稳的；
绘出自相关函数的波形；
求功率谱密度及功率P。
解：（1）先求的数学期望：
因为与彼此统计独立，所以
再求的自相关函数：(与彼此统计独立)
因为的数学期望与t无关，是常数，且自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以是广义平稳的随机过程。
（2）
设，并取，则的图形如下图所示。
(3) 因为功率谱密度，所以
功率 或
设输出过程为，则其均值为。
因为功率谱密度：
所以其自相关函数：
由于方差：
故输出过程的一维概率密度函数为：，其中
2．设是一随机过程，若和是彼此独立且具有均值为0，方差为的正态随机变量，试求：
（1）
（2）的一维分布函数
（3）
解：（1）
（2）因为和正态分布，则也是正态分布，又：
所以的一维分布密度函数为
（3）
其中。而协方差函数为：
3．已知噪声n(t)的自相关函数，a为常数。
求功率谱密度及功率Pn
画出及的波形
解：（1）对于平稳过程n(t),有，因此
（2）及的波形
4．若通过RC 低通滤波器的随机过程是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。
解：因为输入过程是高斯白噪声，所以通过线性系统后输出过程仍然是高斯过程，只是其数学特征和功率谱密度有所变化。
E[n0(t)]= E[ni(t)]H(0)=0
因功率谱密度
所以其自相关函数
设输入过程为ni(t)，其均值为0，即E[ni(t)]=0，功率谱密度，RC低通滤波器的传输函数为：
设输出过程为n0(t)，则其均值为：
由于方差，故输出过程的一维概率密度函数
0
1
0
no(t)
ni(t)
R
C
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