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不等式恒成立时的参数求法 　　【摘要】求参数的方法很多，其中用恒成立求法，也是一种思路，其解决的关键是转化与化归思想的运用. 　　【关键词】恒成立；求参数 　　近年来，在平时的做题和高考，频频出现求参数范围的题型，含参数不等式的恒成立问题又是如此单纯，无须众多技巧便能获得解决，如何解这类题，现总结几点方法. 　　一、利用函数的单调性 　　例1 若4a2-17a+42x+a恒成立的x的取值范围. 　　解 由4a2-17a+42x+a可化为（x-1）a+x2-2x+10. 　　设f（a）=（x-1）a+x2-2x+1， 　　当x-10，即x1时，y=f（a）单调递增， 　　只需f（a）=f（14）=（x-1）?14+x2-2x+1≥0，解得x1. 　　当x-10，即x1时，y=f（a）单调递减， 　　只需f（a）=f（4）=（x-1）?4+x2-2x+1≥0，解得x≤-3. 　　综上，x≤-3或x1. 　　二、判别式法 　　任何一个一元二次不等式总可以化成ax2+bx+c0（a0）或ax2+bx+c0）的形式，由二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图像和性质，我们不难得出下面的结论： 　　（1）f（x）0，对一切x∈R恒成立a0，Δ=b2-4ac0； 　　（2）f（x）0，对一切x∈R恒成立a0，Δ=b2-4ac0； 　　（3）f（x）0（a0）在m≤x≤n上恒成立Δ0，或-b2an，f（n）0； 　　（4）f（x）0）在m≤x≤n上恒成立f（m）0，f（n）0. 　　例2 已知mx2+2mx+30恒成立，求m的范围. 　　解 ①当m=0时，30显然成立； 　　②m0，Δ0，4m2-12m0，0m3. 　　由①②知：0≤m3，即m∈[0，3）. 　　例3 （2011济南高三模拟）已知x∈（0，+∞）时，不等式9x-m?3x+m+10恒成立，则m的取值范围是（ ）. 　　A.2-22m2+22B.m2 　　C.m2+22D.m≥2+22 　　解 令t=3x（t1），则由已知得函数f（x）=t2-mt+m+1（t∈（1，+∞））的图像恒在x轴的上方， 　　即Δ=（-m）2-4（m+1）0或Δ≥0，m2≤1，f（1）=1-m+m+1≥0， 　　解得m2+22. 　　答案 C. 　　例4 （2014高考江苏卷第10题）已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意的x∈m，m+1都有f（x）0，则实数m的取值范围为. 　　解 由题意f（m）=m2+m2-10，f（m+1）=（m+1）2+m（m+1）-10，解得-22m0. 　　答案 -22，0. 　　三、不等式恒成立问题常用到以下结论 　　①f（x）≥m （f（x）m）恒成立f（x）min≥m （f（x）minm）； 　　②f（x）≤m （f（x）m）恒成立f（x）max≤m （f（x）minm）. 　　例5 已知f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围. 　　解 只需f（x）=x2-2ax+2在x∈[-1，+∞）上的最小值大于或等于a，即f（x）min≥a就行. 　　f（x）=x2-2ax+2=（x-a）2+2-a2，其对称轴为x=a， 　　①a≤-1，f（x）min=f（-1）=1+2a+2≥a，-3≤a≤-1； 　　②a-1，f（x）min=f（a）=a2-2a2+2≥a，-1　　综上-3≤a≤1. 　　例6 （2011烟台调研）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+mx-3，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围. 　　解 2xlnx≥-x2+mx-3，则m≤2lnx+x+3x， 　　设h（x）=2lnx+x+3x（x0），则导数h′（x）=（x+3）（x-1）x2，令h′（x）=0，得x=1. 　　①当x∈（0，1）时，h′（x）0，h′（x）单调递减； 　　②当x∈（1，+∞）时，h′（x）0，h′（x）单调递增. 　　所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立， 　　所以m≤h（x）min=4，即m≤4. 3