三角“搭台”导数“唱戏”.docVIP

三角“搭台”导数“唱戏” 　　三角函数是高中数学中一类重要的基本初等函数，其性质特殊而繁多，不少题目对运算技能的要求较高，利用传统方法求解往往技巧性强或难以作答，这时若及时考虑借助导数这一解决函数问题的“利器”，则可能会避开“高超”的解答技巧，呈现清晰的解题思路和简捷明了的解题过程.本文结合实例略谈导数在解答三角函数问题时的几种“活用”，旨在探索题型规律，揭示解题策略，供大家参考. 　　1利用导数解决三角恒等式或不等式的证明问题 　　1.1证明三角恒等式 　　例1求证：sin22x+2cos2xcos2x=2cos2x. 　　证明令f（x）=sin22x+2cos2xcos2x-2cos2x，则有f′（x）=4sin2xcos2x+2（-2cosxsinxcos2x-2sin2xcos2x）+4sinxcosx=4sin2xcos2x-2sin2x?cos2x-2sin2x（1+cos2x）+2sin2x=0，所以f（x）为常数函数.又易知f（0）=0，所以f（x）=sin22x+2cos2xcos2x-2cos2x=f（0）=0，从而sin22x+2cos2x?cos2x=2cos2x. 　　变式求证：sin2x+cos2x=1. 　　评注事实上，对于上述解答过程，在获得“f（x）为常数函数”这一结论后，不仅可以去计算f（0），而且可以去计算任意的f（α）（α∈R），并且能够发现“f（α）=0（α∈R）恒成立”，比如，利用计算得到的fπ6=0、fπ4=0、fπ3=0等去阐述，都是可行的. 　　例2求证： 　　sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4=124. 　　证明令f（x）=sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4，f′（x）=sin7xcosx+cos7xsinx-2sin5xcosx-cos5xsinx+sin3xcosx=sinxcosx（-2sin4x-cos4x+sin6x+cos6x+sin2x）=sinxcosx[-2sin4x-cos4x+（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）+sin2x]=sinxcosx（-sin4x-sin2xcos2x+sin2x）=sinx?cosx[-sin4x+sin2x（1-cos2x）]=sinxcosx-sin4x+sin4x=0，所以f（x）为常数函数.又易知f（0）=-18+16=124，所以f（x）=sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4=124. 　　变式1求证：sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β=12. 　　提示：把α视为主元，β视为常数. 　　变式2求证：sin3xsin3x+cos3xcos3x=cos32x. 　　评注通过上述实例可以看出，利用导数证明三角恒等式的思路主要有两个方面：（1）若采用恒等式移项的策略，不论待证恒等式右边是三角代数式还是常数，只需要把等式右边完全移向等式左边，使等式的右边变为“0”，然后把移项得到的代数式作为一个函数，首先证明其导数恒等于0，即证明该函数是一个常数函数，再在该函数定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的函数值为0，则原恒等式得证，这方面的案例有例1及其变式；（2）若采用恒等式不移项的策略，这里面又有两种情况，若待证恒等式右边是一个常数a，则只需把等式左边当成一个函数，首先证明其导数恒等于0，即证明该函数是一个常数函数，再在该函数定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的函数值为a，则原恒等式得证，这方面的案例有例2及其变式1；若待证恒等式两边都是三角代数式，则可以把两个三角代数式各自作为一个函数（定义域相同），首先证得两个函数的导数相等，则其中一个函数必等于另一个函数与一个常数之和，接下来证明该常数等于0，只需要在定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的两个函数值相等，则该常数等于0，故原恒等式得证，这方面的案例有例2的变式2. 　　1.2证明三角不等式 　　例3求证：对任意正角α0成立. 　　证明令f（α）=sinα+12sin2α+13sin3α，则f′（α）=cosα+cos2α+cos3α=cosα+2cos2α-1+4cos3α-3cosα=（2cosα+1）（2cos2α-1）， 　　由f′（α）0， 　　-1cosα1，可得-22cosα-12或22cosα1，由f′（α）0， 　　-10，易知f45°=42+360，f（135°）=42-360，所以对任意正角α0成立. 　　变式1若0x1x2π2，求证： 　　tanx1tanx2x1x2. 　　提示：令f（x）=tanxx