《九章算术》中的刍童、刍甍、羡除.docVIP

《九章算术》中的刍童、刍甍、羡除 　　2015年湖北省高考数学试卷文科第20题、理科第19题引入了《九章算术》中的“阳马”和“鳖?”，这两个被多数同行认为的“新”名称的最近发展区是呼之欲出的刍童、刍甍、羡除. 　　大约在25年前，我当时所在的湖北省咸宁高中数学组的几位老师就探讨着一类想象的六面体：两个平行底面是相似矩形、两组相对侧面分别是全等梯形的六面体一定是四棱台吗？ 　　经过争论和尝试后，我们画出下列两图：先画 　　出两底面为长方形且两底面中心连线（对称轴）垂直于两底面的四棱台ABCD―A1B1C1D1（如图1），再将其上底面矩形A1B1C1D1绕对称轴按逆时针方向旋转90°，便可伴随得到“两个平行底面是相似矩形、两组相对侧面分别是全等梯形的六面体”（如图2），但这个六面体却不是四棱台.于是，我们当时统一了观点，所探讨的六面体不一定是四棱台. 　　但是，这样旋转得到的六面体是否有一个名称呢？我们当时并不知道！若干年之后，我阅读相关数学史书籍，才知晓我国于公元前一世纪编成、公元一世纪修订的世界性名著《九章算术》上有着相关上述六面体的内容.用《九章算术》的名称，上述旋转得到的六面体是一种刍童.图1图2 　　形似“草垛”的所谓刍童（包括曲池、盘池、冥谷），就是恰有两个矩形底面（不能全为正方形）、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体[1][2].刍童的两个底面所在的平面互相平行，其实对于几何图形中所说的“两底”都默认其所在平面互相平行；刍童的四个侧面是梯形或平行四边形，但不能全为平行四边形（否则就退化成平行六面体）；刍童的四条侧棱所在直线交于两点（一个底面矩形的长、宽与另一个底面矩形的平行棱的大小关系不相反）或四点（一个底面矩形的长、宽与另一个底面矩形的平行棱的大小关系相反）. 　　例1（2002年北京市高考题）如图3，在多面体ABCD―A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c、d与a、b，且ac，bd，两底面间距离为h. 　　（1）证明：EF∥平面ABCD； 　　（2）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面?h来计算，已知它的体积公式是 　　V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）?h，（Ⅰ） 　　试判断V估与V的大小关系. 　　审题①六面体ABCD―A1B1C1D1是一个刍童，四条侧棱所在直线交于两点，而不是交于四点；②公式（Ⅰ）是任意拟柱体的一般体积公式. 　　解（1）由于下底面ABCD是矩形，则AB∥CD，则AB∥平面CDEF（线面平行的判定定理）.又因为平面ABFE∩平面CDEF=EF，则AB∥EF（线面平行的性质定理），即EF∥AB，则EF∥平面ABCD（线面平行的判定定理）. 　　（2）根据梯形的中位线定理得到 　　S中截面=a+c2?b+d2=ab+ad+bc+cd4，则 　　V估-V=S中截面h-16（S上底面+4S中截面+S下底面）h 　　=h6（2S中截面-S上底面-S下底面） 　　=h6（ab+ad+bc+cd2-ab-cd） 　　=h12（-ab+ad+bc-cd）. 　　=-h12（a-c）（b-d）c，bd）. 　　所以，V估V. 　　补注①此题可以启发我们领悟到刍童的一个性质――刍童的四条侧棱所在直线交于两点或四点，底面同侧的两点连线必定平行于底面；②根据拟柱体的一般体积公式（Ⅰ）可以推导出刍童特有求体积之“术”，请见下面的定理. 　　定理1如图4和图5，如果刍童的高为h，下底面矩形的长为a1、宽为b1，上底面矩形的长为a2、宽为b2，那么此刍童的体积是[1][2] 　　V=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h.（Ⅱ） 　　《九章算术》对于问题只给出“术”与终答，而对“术”却不证自明.下面补遗证明定理1. 　　证明由于刍童是一类拟柱体，则运用公式（Ⅰ）得到V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）?h 　　=16（a1b1+4?a1+a22?b1+b22+a2b2）?h 　　=16[a1b1+（a1b1+a1b2+a2b1+a2b2）+a2b2）]?h 　　=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h， 　　所以，公式（Ⅱ）正确，故定理1证毕. 　　如下列两图，将图6刍童ABCD-A1B1C1D1的两个顶点A1与D1合拢成一点E，同时将两个顶点B1与C1合拢成一点F，便形成图7而得到一个五面体EF―ABCD.按照《九章算术》的说法，这个由刍童退化演变出来的五面体是一个广义的刍甍. 　　形似“草脊”的所谓刍甍，就是唯一顶棱平行于唯一矩形底面、三条平行棱不全等长的五面体.这是广义的刍甍，