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第七章 空间解析几何与向量代数 习题7-2 1．求点(2,－3,－1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点. 解答：（1）xOy面：，yOz面：，zOx面：； （2）x轴：，y轴：，z轴：； （3） 难度：一级 2．求点（4，－3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离. 解答：点（4，－3，5）到坐标原点的距离为， 点（4，－3，5）到轴的距离为， 点（4，－3，5）到轴的距离为， 点（4，－3，5）到轴的距离为. 难度：一级 3．设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a，求各顶点的坐标. 解答：各顶点的坐标为： 难度：一级 4．在yOz平面上求一点，使它与点A（3，1，2），点B（4，－2，－2）和点C（0，5，1）的距离相等. 解答：设所求点为，则由条件有，故 ， 解得.即所求点为. 难度：一级 5．在z轴上求一点，使它到点A（－4，1，7）和点B（3，5，－2）的距离相等. 解答：设所求点为，则由条件有，故 ， 解得.即所求点为. 难度：一级 6．已知向量a和b的夹角为60°，且试求和 解答：由于，代入已知条件，即可得 ； 又由于，故. 难度：二级 7．设试求下列各向量的坐标： （1） （2） （3） 解答：（1）； （2）； （3）. 难度：一级 8．求向量的模以及它与坐标轴之间的夹角. 解答：； 与坐标轴的夹角余弦分别为， 故与坐标轴的夹角分别为. 难度：一级 9．已知一向量的起点是A(2,－2,5),终点是B(－1,6,7),试求： （1）向量在各坐标轴上的投影； （2）向量的模和方向余弦； （3）的单位向量. 解答：由于向量，所以 （1）向量在各坐标轴上的投影为 （2）向量的模， 方向余弦为； （3）的单位向量. 难度：一级 10．已知向量的起点坐标为（2，0，－5），求它的终点坐标. 解答：终点坐标为. 难度：一级 11． 已知向量的终点为B（2，－1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、－4和7，求该向量起点A的坐标. 解答：起点A的坐标. 难度：一级 12．已知向量求与同向的单位向量. 解答：由于， 单位化，与同向的单位向量为. 难度：一级 习题7-3 1．设向量a和b的夹角为，且试求： （1） （2） 解答：（1）； （2）. 难度：二级 2．设其中向量a和b的夹角为，试求及. 解答：； 由于， 所以. 难度：二级 3．设且问： （1）k为何值时， （2）k为何值时，A与B为邻边的平行四边形面积为6. 解答：(1) 要使，则，即，代入条件即，解得； （2）要使以A与B为邻边的平行四边形面积为6，即，代入条件即，解得或 难度：二级 4．已知向量a+3b垂直于向量7a－5b,向量a－4b垂直于向量7a－2b,试求向量a与b的夹角. 解答：因为a(3b(7a(5b，a(4b(7a(2b，所以 (a(3b)((7a(5b)(0( (a(4b)((7a(2b)(0， 即 7|a|2(16a(b(15|b|2 (0( 7|a|2(30a(b(8|b|2 (0， 由以上两式可得 ( 于是 ，. 难度：二级 习题7-4 1．设向量且，试求l与m的值. 解答：由于，所以，解得或. 难度：一级 2．已知向量试求与 解答：； . 难度：一级 3．已知和，试求向量在向量上的投影. 解答：，，. 难度：一级 4．设直线L通过点（－2，1，3）和（0，－1，2），求点（10，5，10）到直线L的距离. 解答：设，点到直线的距离为，则 利用，，解得 . 难度：二级 5．求点（1，－3，2）关于点（－1，2，1）的对称点. 解答：设，所求点为，由题意知，即，解得. 难度：一级 6．求以向量为相邻三棱的平行六面体的体积. 解答：由于，所以所求六面体的体积为 . 难度：三级 7．试证和四点共面. 解答：由题意，由于 ， 所以四点共面. 难度：三级 8．设求： 解答： . 难度：二级 习题7-5 1．确定球面的球心和半径. 参考答案：球心 解答：将原方程配方，得，故球心为，半径为. 难度：一级 2．一球面过坐标原点和三点，试确定该球面的方程. 参考答案： 解答：设球面的方程为，将它所经过的四个点的坐标代入，即可解得，即球面方程为. 难度：二级 3．试求与距离相等的点的轨迹方程. 参考答案： 解答：设动点坐标为，则由条件有，故有 ， 化简得. 难度：一级 4．指出下列方程所表示的曲