浅论函数列的一致收敛性.docVIP

Vol . 12 ,No . 5 高等数学研究 47 Sep . , 2009 STUDIES IN COLL E GE MA T H EMA TICS 3 浅论函数列的一致收敛性 刘江蓉 (武汉工业学院数理科学系 武汉 430023) 摘 要 通过典型例子 , 从不同角度解析函数列一致收敛性的概念 , 并介绍在应用中如何分析这 种性质. 关键词 函数列;一致收敛;解析;突变. 中图分类号 O172 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段, 特别是表达非初等函数的一种手段 , 于 是利用函数列的解析性质研究函数的解析性质就显得十分重要. 函数列的一致收敛性是《高等数学》中一个比较精细的概念, 针对初学者对这个概念的困惑, 本文主要对此进行解析, 以及介绍在应用时如何进行思考. 若在数集 D 上, 函数列 f n ( x) →f ( x) ( n →∞) , 则通项 f n ( x) 的解析性质是否会遗传给极限函 数 f ( x) 呢 ?答案是不一定. 如:函数列 f n ( x) 连续性未能遗传; 设  n x - x - x , n ∈N + , f n ( x) →sgn x = f ( x) ( n →∞) , x ∈R , = n x + x - x r1 , r2 , , rn , 为[ 0 , 1 ] 上全体有理数所成的数列, 则有函数列 1 , x = r1 , r2 , , rn , f n ( x) = 0 , x ∈[ 0 , 1 ] 且 x ≠r1 , r2 , , rn , f n ( x) →D ( x) = f ( x) ( n →∞) , x ∈[ 0 , 1 ] , n ∈N + , 其可积性未能遗传; 函数列 ( ) = 2 - n2 x 2 + ( ) →0 = f ( ) ( ) f n x 2 n xe , n ∈N , f n x x n →∞ , x ∈R , 可积性虽然得到遗传, 但 1 1 lim f n ( x) d x ≠ ( lim f n ( x) ) d x . ∫ ∫ n →∞ 0 0 n →∞ 那么, 在什么条件下, 函数列的解析性质能够遗传给极限函数呢 ?一个充分条件就是“一致收敛”,即把逐点收敛加强为整体收敛. 函数列一致收敛与收敛的概念, 类似于函数一致连续和连续的概念 ,δ要求只与ε有关:设函数列{ f n } 与函数 f 定义在同一数集 D 上, 若任给ε 0 , 存在正整数 N , 当 n N 时, 对一切 x ∈D , 都有 | f n ( x) - f ( x) | ε, 则称函数列{ f n } 在 D 上一致收敛于 f . 判断、证明一致收敛性的方法很多, 如:定义、柯西准则、函数列极限函数的解析性质、确界极限定理等, 我们主要从确界极限来分析. 先来看确界极限定理, 简单地可表述为 : 一致收敛 ∈ Z lim sup | f n ( x) - f ( x) | = 0 f n ( x) f ( x) ( n ) , x D. . →∞ n →∞ 推广得到: 一致收敛 D , lim sup | f n ( x n ) - f ( x n ) | = 0 f n ( x) f ( x) ( n ) . { x n } . →∞ Z P n →∞ 收稿日期:2008 - 04 - 17 ,修改日期:2009 - 07 - 05 . 基金项目:武汉工业学院基金资助项目(06 Y18) . ? 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 48 高等数学研究 2009 年 9 月 从而有: 若存在{ xn } D ,使lim sup | f n ( xn ) - f ( xn ) | ≠0 ,则{ f n ( x) } 在数集 D 上非一致收敛. n →∞