求函数值域(最值)的方法大全.docVIP

一、值域的概念和常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域： 一次函数的值域为R. 二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， 反比例函数的值域为. 指数函数的值域为. 对数函数的值域为R. 正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法 适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数 　　　 　例1求函数y=的值域 　　 解： 显然函数的值域是： 　例2求函数y=2－的值域。 解： ≥0 －≤0 2－≤2 故函数的值域是：[-∞，2] 2、配方法 适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解. 例3、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知： 当x=1时，y =4 当x=-1，时=8 故函数的值域是：[4，8] 例4、求函数的值域： 解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，，所以，的值域为. 3、判别式法 适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。 例求函数的值域 解：恒成立，函数的定义域为R. 由 得 。 当即时，； 当即时，时，方程恒有实根. 且. 原函数的值域为. 例 求函数y=x+的值域。 解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1） xR，△=4（y+1）-8y≥0 解得：1-≤y≤1+ 但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。 由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0≤x≤2，y=x+≥0， =0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4、反函数法 适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。 例求函数的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。 反解得 即 知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。 故函数的值域为：。 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。 例求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：= ＞0，＞0 解得：-1＜y＜1。 故所求函数的值域为(-1,1). 例求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：sinx（x+β）=3y 即 sinx（x+β）= ∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1 解得：-≤y≤ 故函数的值域为[-，]6、函数单调性法 适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减） 例求函数的值域。 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。 例 求函数y= （2≤x≤10）的值域 解：令y=，=，则 y ，在[2，10]上都是增函数。 所以y= y +在[2，10]上是增函数。 当x=2时，y =+=， 当x=10时，= +=33。 故所求函数的值域为：[，33]。 例求函数y=-的值域。 解：原函数可化为： y= 令y =，= ，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y +在[1，+∞）上也为无上界的增函数。 所以当x=1时，y=y +有最小值，原函数有最大值=。 显然y＞0，故原函数的值域为(0,]。 7、换元法 通过简单的换元把一