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实验六 常微分方程实验目的掌握用MATLAB求常微分方程和常微分方程组解析解的方法。学习MATLAB命令求常微分方程（组）的符号解命令对于可以用积分方法求解的常微分方程（组），可用命令来求其通解或特解：输入符号形式的常微分方程（组）及初始条件；默认的自变量是，如果要指定自变量，则在方程组及初始条件后面加，并用逗号分开。在常微分方程（组）的表达式中，大写字母表示关于自变量（默认为）的微分算子：。算子后面的字母则表示因变量，即待求解的未知函数。返回的结果中可能会出现任意常数等。若命令找不到解析解，则返回一警告信息。例如，输入下面的方程都可以的得到其解： %输出ans =C2/exp(a*t) %输出x =1/exp(a*s) %输出略实验内容（一）求微分方程的解析解例1 求微分方程的通解。输入：dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x^2),x)便得到微分方程的通解：(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)其中是任意常数。例2 求微分方程在初始条件下的特解。输入：dsolve(x*Dy+y-exp(-x)=0,y(1)=2*exp(1),x)便得到微分方程的特解：(1/exp(1) - 1/exp(x) + 2*exp(1))/x例3 求微分方程的通解。输入：simplify(dsolve(D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*cos(2*x),x))便得到微分方程的通解：(exp(x)*(x*sin(2*x) + 4*C14*cos(2*x) + 4*C15*sin(2*x)))/4其中4，是任意常数。实验作业求下列微分方程的通解。（1）；（2）。求下列微分方程的特解。（1）；（2）。四 综合应用1导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向未育x轴长的点（1，0）处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度沿平行于y轴的直线形式，导弹的数度是，求导弹运行的曲线方程。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解：假设导弹在t时刻位置为，乙舰位于。由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P的切线，即有即又根据题意，弧OP的长度为的5倍，即由上式消去t得，，初值条件为，使用matlab求解：解即为导弹的运行轨迹：当时，即当乙舰行驶到（1，5/24）时被击中，被击中时间为若，则=0.21时被击中。综合应用2人口预测的微分方程模型下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（），万人，万人。年198219831984198519861987198819891990人口（万人）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口（万人）115823117171118517119850121121122389123626124810实验要求：1、建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。2、绘图，在图中标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。实验方案（程序设计说明）模型：指数增长模型 假设：人口净增长率r是一常数符号：时刻时的人口，可微函数时的人口则于是x（t）满足如下微分方程：Matlab求解syms r x0;dsolve(Dx=r*x,x(0)=x0)ans =x0*exp(r*t)解为：预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：年实际人口(万人)指数增长模型(万人)误差199111433319921158231158194199311717111732515419941185171188503331995119850120395545199612112112196083919971223891235451156199812362612515215262、运行结果 实验七 空间图形的画法实验目的掌握用MATLAB绘制空间曲面和曲线的方法。通过作图和观察，提高空间想象能力，深入理解二次曲面方程及其图形。学习MATLAB命令三维曲线和曲面的绘制(一)、三维曲线的绘制命令命令plot3主要用于绘制三维曲线，它的使用格式和plot完全类似。该命令的基本使用形式是：例如，一条空间螺旋线的参数方程是：。输入：t=0:0.1:8*pi;x=cos(t);y=sin(t);z=t/10;plot3(x,y,z)xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);则输出了一条螺旋线（见图 6-1）。图 6-1（2）命令同绘制二维曲线相似，也有简洁的绘制空间曲线命令，具体使用方法同相似，形式是： 其中是曲线的