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《数学思想方法》复习题三 1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？：因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用，例如“勾股”、“方程”等章。这在世界数学史上是最早的。因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。3．什么是类比猜想？并举一个例子说明。?人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。 4．简述表层类比，并用举例说明。：表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似所进行的类比。这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。例如，从类比出是错误的，而类比出在数列极限存在的条件下是正确的。又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。 5．数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。：数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。例如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；在学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等。在数列极限存在的条件下是正确的。又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。 1．为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？正确答案：运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。2．特殊化在数学教学中的作用有哪些？正确答案：利用特殊值(图形)解选择题。利用特殊化探求问题结论。利用特例检验一般结果。利用特殊化探索解题思路。 3．为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？正确答案：数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。4．什么是公理方法和公理体系？正确答案：简要地说就是从初始概念和公理出发，按照一定的规律定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法（5分）。公里体系由初始命题、公理、逻辑规则、定理等构成（5分）。5．简述数学思想方法教学的几个主要阶段。正确答案： ? 潜意识阶段——在这个阶段学生只注意数学知识的学习，注意知识积累，而未曾注意到对这些知识起到横向联系和固定作用的思想方法，或者只是处于一种“朦朦胧胧”、“若有所悟”的状况；（3分） 明朗化阶段——随着运用同一种数学思想方法解决不同的数学问题的实践机会的增多，隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思考，直至产生某种程度的领悟。当经验和领悟积累到一定程度时，这种事实上已经被应用多次的思想方法就会凸现出来，学生开始理解解题过程中所使用的方法与策略，并且概括总结出这一思想方法；（3分） 深刻理解阶段——在这个阶段，学生基本上能正确运用某种数学思想方法进行探索和思考，以求得问题的解决。同时，在解决问题的实践过程中，学生又将加深了对数学思想方法的理解，并养成了有意识地、自觉地运用数学思想方法解决问题的思维习惯。（4分） 1．模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系正确答案：模型化