2015年北京海淀区高三数学一模(理科)试题及答案.docVIP

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理）答案及评分参考 2015.4 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9） （10） （11） （12）或 （13） （14） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ） ………………2分 . 所以 . ………………4分 令，得：. ………………6分 所以 的最小正周期为，对称轴的方程为. （Ⅱ） 令， 得：. 所以 的单调递减区间为. ………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）； ………………2分 . ………………4分 （Ⅱ）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱； 事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱； 事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则 ，. ………………6分 所以 . ………………8分 （Ⅲ）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3. ………………9分 ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 ………………11分 所以 的数学期望. 所以 的数学期望17）（共14分） 证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形为正方形， 所以 . 因为 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. ………………2分 因为 平面， 所以 . ………………4分 （Ⅱ）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则. 所以 ，，. ………………6分 设平面的一个法向量为. 由得 令，得，所以 . ………………8分 设与平面所成角为， 则. 所以 与平面所成角的正弦值为. ………………10分 （Ⅲ）解：直线与直线平行. 理由如下： ………………11分 由题意得，. 所以 . 所以 . ………………13分 因为 ，不重合， 所以 . ………………14分 另解：直线与直线平行. 理由如下： 取的中点，的中点，连接，，. 所以 且. 因为 为的中点，四边形是正方形， 所以 且. 所以 且. 所以 为平行四边形. 所以 且. 因为 四边形为梯形，， 所以 且. 所以 四边形为平行四边形. 所以 且. 所以 且. 所以 是平行四边形. 所以 ，即. ………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）. ………………2分 （ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是.