{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：2.5从力做的功到向量的数量积（二）Word版含答案(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．[情境导学]　引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的．向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大．实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来．探究点一　向量数量积运算律的提出思考1　类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝baa·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0) ?a＝ca·b＝b·c(b≠0)?a＝c错误思考2　在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明．答　(a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立．a·b＝b·c(b≠0)?a＝c不成立，如图所示．显然a·b＝b·c，且a≠c.例1　给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．答案　④解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．反思与感悟　向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)．跟踪训练1　设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b||a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．答案　①③④解析　根据向量积的分配律知①正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；∵a，b不共线，∴|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b||a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.探究点二　向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考1　如何证明a·b＝b·a(a和b夹角为θ)?答　a·b＝|a||b|cos θ，b·a＝|b||a|cos θ，∴a·b＝b·a.思考2　对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？答　(λa)·b有意义，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．探究点三　平面向量数量积的运算性质思考　实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a表中的结论可以用作公式使用：例如，若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.答案　－13解析　方法一　由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向．∴有a·b＋b·c＋c·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180°＝3－4－12＝－13.方法二　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，∴a·b＋b·c＋c·a＝＝＝－13.例2　已知|a|＝6，|