{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：3.3二倍角的三角函数（一）Word版含答案(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变形，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α，sincos＝sinα；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝.2．倍角公式常用变形(1)＝cos_α，＝sin_α；(2)(sinα±cosα)2＝1±sin_2α；(3)sin2α＝，cos2α＝.[情境导学]　利用我们已经学习的公式，能否将2sin20°cos20°进一步化简呢？显然，利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin20°cos20°做进一步的化简，这就使得我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题．探究点一　二倍角公式的推导思考1　二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答　sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan(α＋α)＝.思考2　根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答　∵cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.探究点二　余弦的二倍角公式的变形及应用思考　余弦的二倍角公式是否有其他变形？答　二倍角的余弦公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形较多，应用灵活．其中sin2α＝，cos2α＝称作降幂公式，＝sin2，＝cos2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．练习1：函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－的最小正周期是________．答案　π解析　∵f(x)＝sin2x＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝sin，∴T＝＝π.练习2：函数f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是________．答案　[－5,3]解析　f(x)＝cos2x＋4sinx＝1－2sin2x＋4sinx＝－2sin2x＋4sinx＋1＝－2(sinx－1)2＋3.当sinx＝1时，f(x)max＝3；当sinx＝－1时，f(x)min＝－5.例1　已知sin2α＝，α，求sin4α，cos4α，tan4α的值．解　由α，得2απ.又因为sin2α＝，cos2α＝－＝－＝－.于是sin4α＝2sin2αcos2α＝2××＝－；cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝；tan4α＝＝＝－.反思与感悟　解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，利用同角三角函数关系及诱导公式解决问题是常用方法．跟踪训练1　求下列各式的值．(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos2－1；(4).解　(1)∵sin＝sin(－)＝cos，∴sinsin＝sincos＝·2sincos＝sin＝.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝.(3)2cos2－1＝cos＝－.(4)＝＝tan60°＝.例2　求证：＝tan4A.证明　∵左边＝＝2＝2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，∴＝tan4A.反思与感悟　利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明．跟踪训练2　化简：.解　方法一　原式＝＝＝＝tanθ.方法二　原式＝＝＝＝tanθ.例3　在△ABC中，cosA＝，tanB＝2，求tan(2A＋2B)的值．解　方法一　在△ABC中，由cosA＝，0Aπ，得sinA＝＝＝.所以tanA＝＝×＝，tan2A＝＝＝，又tanB＝2，所以tan2B＝＝＝－.于是tan(2A＋2B)＝＝＝.方法二　在△ABC中，由cosA＝，0Aπ，得sinA＝＝＝.所以tanA＝＝×＝.又tanB＝2，所以tan(A＋B)＝＝＝－.于是tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]＝＝＝.反思与感悟　解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式，“凑角法”是解决此类三角问题的常用技巧．跟踪训练3　已知sin＝，0x，求的