{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：3.1同角三角函数的基本关系Word版含答案(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 1．任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝ 0.则sin α＝，cos α＝，tan α＝.2．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．3．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝.[情境导学]　大家都听过一句话：南美洲亚马逊雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风．这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系．那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题．探究点一　同角三角函数的基本关系式思考1　写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？sin αcos αtan αsin2α＋cos2α30°145°11160°1150°－－1－答　sin230°＋cos230°＝1，sin245°＋cos245°＝1，sin260°＋cos260°＝1，sin2150°＋cos2150°＝1；＝tan 30°，＝tan 45°，＝tan 60°，＝tan 150°.同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.这就是同角三角函数的基本关系式．思考2　如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答　设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝0，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.于是sin2α＋cos2α＝()2＋()2＝＝1，＝＝＝tan α.即sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而＝tan α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋，k∈Z.思考3　对于平方关系sin2α＋cos2α＝1可作哪些变形？对于商数关系＝tan α可作哪些变形？ 答　sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，sin α＝cos α·tan α，cos α＝.探究点二　三角函数式的求值例1　已知sin α＝－，求cos α，tan α的值．解　因为sin α0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝.如果α是第三象限角，那么cos α0.于是cos α＝－＝－从而tan α＝＝×＝.如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－.反思与感悟　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．跟踪训练1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.探究点三　三角函数式的化简例2　已知α是第三象限角，化简： － .解　原式＝ －＝ － ＝－＝.∵α是第三象限角，∴cos α0.∴原式＝＝－2tan α.即 － ＝－2tan α.反思与感悟　解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．(4)关于sin α，cos α的齐次式的求值方法①sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式