{高考必备]高一数学北师大版必修4学案：3.2.3两角和与差的正切函数Word版含答案(经典).docxVIP

2.3　两角和与差的正切函数明目标、知重点　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．1．两角和与差的正切公式(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝.(2)Tα－β：tan(α－β)＝.2．两角和与差的正切公式的变形(1)Tα＋β的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tanαtanβ＝1－.(2)Tα－β的变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．tanαtanβ＝－1.[情境导学]　某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．小山的高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度．解　设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，则sinα＝.在Rt△ABD中，tan(45°＋α)＝tanα，于是x＝－30.如何能由sinα＝求得tan(45°＋α)的值呢？或者说能不能用sinα把tan(45°＋α)表示出来呢？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题．我们有必要得到两角和与差的正切公式．探究点一　两角和与差的正切公式的推导思考1　你能根据同角三角函数基本关系式tanα＝，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．答　当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝＝.当cosαcosβ≠0时，分子分母同时除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝.根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tan(α－β)＝＝.思考2　在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答　在公式Tα＋β，Tα－β中α，β，α±β都不能等于kπ＋(k∈Z)．探究点二　两角和与差的正切公式的变形公式思考　两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1.这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．练习　直接写出下列式子的结果：(1)＝；(2)tan75°＝；(3)＝.答案　(1)1　(2)2＋　(3)例1　求下列各式的值：(1)；(2)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.解　(1)原式＝＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.(2)∵tan45°＝＝1，∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°∴原式＝(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.反思与感悟　公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．跟踪训练1　求下列各式的值：(1)；(2)tan36°＋tan84°－tan36°tan84°.解　(1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－tan36°tan84°＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－tan36°tan84°＝tan120°＝－.例2　若α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β的值．解　∵(1－tanα)(1－tanβ)＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝.反思与感悟　此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会产生增解或者漏解．跟踪训练2　已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－α，－β，求角α＋β.解　由已知得，∴tanα、tanβ均为负，∴－α0，－β0.∴tan(α＋β)＝＝＝.∵－πα＋β0，∴α＋β＝－.例3　已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．解　∵tanA＋tanB＝tanAtanB－1，∴(tanA＋tanB)＝tanAtan