幂级数的展开.doc

函数的幂级数展开研究 摘 要：本文主要讨论函数项级数中的幂级数的展开。我们把按照泰勒定理及相关定理展开函数的幂级数的方法叫直接法。一般情况下，只有少数简单的函数能利用直接法得到其幂级数展开式。更多的函数是通过间接法得到。间接法就是根据唯一性定理，利用已知函数的展开式，通过线性运算、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幕级数的展开式的方法。同时幂级数在近似计算、数值逼近、微分方程的解等许多数学方面具有重要作用，但前提是正确展开一个函数的幂级数。因此，我们的目的是通过实例总结和研究高等数学中函数的幂级数展开的常用方法和实际问题中的应用。 关键词：函数；幂级数；展开式 Abstract: This paper centers on the expansion of power series in function series. We define the method of expanding power series according to Taylor’s theorem and relative theorems the Direct Method. Normally, only a few simple functions can get their expansion of power series through the Direct Method while most of functions through the Indirect Method. The Indirect Method is a method of getting the power series of functions indirectly through linear operation, variable substitution, identical deformation, derivation or integration term by term, based on the Uniqueness Theorem and the expansion of known functions. Meanwhile, power series plays an significant role in many aspects of mathematics such as approximation, numerical approximation, the solution of differential equation on condition that the power series is expanded correctly. Therefore, our purpose is to study different methods of the expansion of power series in Higher Mathematics and their application in practical problems by summarizing demonstrating examples. Keywords: Function; power series; expansion. 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在理论研究上可谓，清家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对等展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。在内具有阶导数，则在内。若 其中为拉格朗日型余项。 1.2 唯一性定理[1] 设在可以展开成幂级数，则 1.3 泰勒级数与麦克劳林级数[1] 设在点具有任意阶导数，则称 (1)为在点的泰勒级数，记作 (2)称为的麦克劳林级数，记作 1.4 解析函数泰勒展式[2] 定理1 设函数在圆盘内解析，那么在内，有 证明 设，以为心，在内作一个圆，使属于其内区域。有 由于当时，，又因为 所以 上式的级数当时一致收敛。