(拿破仑定理.docVIP

拿破仑定理　在△ABC中,向三边分别向外侧作正三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形. 这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形．拿破仑定理证明在许莼舫的三圆共点的启发下，用四点共圆来获得奇妙的证明。 辅助线，证明此题。用三角形的全等，三角形的相似推导出来该定理用旋转的方法也证明了该定理。 　　在△ABC的各边上向外各作等边△ABD，等边△ACF，等边△BCE。 　　如何证明：CD=AE=BF？ 　　思路：利用旋转的方法来证明包含有这两条线段的两个三角形全等。 　　证明：∵ △ABD是等边三角形；△ACF是等边三角形； 　　∴ ∠DAB=∠FAC=60°； 　　∴ ∠DAC=∠BAF； 　　在△DAC和△BAF中； 　　DA=BA； 　　∠DAC=∠BAF； 　　CA=FA； 　　∴ △DAC≌△BAF；（SAS） 　　∴ CD=BF； 　　∵ △ABD和△BCE是等边三角形； 　　∴ ∠DBA=∠EBC=60°； 　　∴ ∠DBC=∠ABE； 　　在△DBC和△ABE中； 　　BD=BA； 　　∠DBC=∠ABE； 　　BC=BE； 　　∴ △DBC≌△ABE；（SAS） 　　∴ CD=AE； 　　th ere4; CD=BF=AE； 利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。　　在△ABC的各边上向外各作等边△ABD，等边△ACF，等边△BCE。 　　如何证明：这3个等边三角形的外接圆共点？ 　　思路：利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。 　　证明：设等边△ABD的外接圆和等边△ACF的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。 　　∴ ∠ADB=∠AFC=60°； 　　∵ A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆； 　　∴ ∠AOB=∠AOC=120°； 　　∴ ∠BOC=120°； 　　∵ △BCE是等边三角形 　　∴ ∠BEC=60°； 　　∴ B、E、C、O四点共圆； 　　∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。 结论：因为周角等于360°，所以，∠AOB= ∠AOC=120°时，∠BOC就等于120°；用四点共圆的性质定理和判定定理来证明三圆共点的问题 　　在△ABC的各边上向外各作等边△ABD，等边△ACF，等边△BCE。 　　求证：这3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形？ 　　思路：利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。 　　证明：设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P 　　相交于O；连AO、CO、BO。 　　∵ A、D、B、O四点共圆； 　　A、F、C、O四点共圆 　　B、E、C、O四点共圆 　　∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°； 　　∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°； 　　∵ NP、MP、MN是连心线； 　　BO、CO、AO是公共弦； 　　∴ BO⊥NP于X； 　　CO⊥MP于Y； 　　AO⊥NM于Z。 　　∴ X、P、Y、O四点共圆； 　　Y、M、Z、O四点共圆； 　　Z、N、X、O四点共圆； 　　∴ ∠N=∠M=∠P=60°； 　　即△MNP是等边三角形。 　　结论：图中本没有圆，为了方便读图，我特地画出了三个等边三角形的外接圆：⊙N、⊙M、⊙P，而且还有三个四点共圆之辅助圆。一共六个圆。这是多么奇妙的构思啊！ 　　的证法 　　在△ABC的各边上向外各作等边△ABD，等边△ACF，等边△BCE。 　　如何证明：这三个等边三角形的中心的连线构成一个等边三角形？ 　　思路1：为了充分展示这个命题的证法之蹊跷，请看学生自己的证法。利用旋转的三角形全等来证明。 　　证明1：将△NBP绕 卧点旋转120°至△GCP；连GM；则NP=PG，∠CGP=∠BNP； 　　设 ∠ABC=α、∠ACB=β； 　　∠NBP=60°+α； 　　∴ ∠GCP=60°+α； 　　∵ ∠MCP=60°+β； 　　∴ ∠GCM=360°-（60°+α） 　　-（60°+β）； 　　=240°-（α+β）； 　　=240°-（180-∠BAC） 　　=60°+∠BAC； 　　=∠NAM； 　　在△MAN和△MCG中； 　　MC=MA； 　　∠GCM=∠NAM； 　　CG=NA； 　　∴ △MAN≌△MCG；（SAS） 　　∴ MN=MG；∠CGM=∠ANM；∠CMG=∠AMN； 　　在△MNP和△MGP中； 　　MN=MG； 　　PM=PM； 　　PN=PG； 　　∴ △MNP≌