高考数学有关切线问题综述论文..docVIP

高考中有关切线问题综述 切线作为一条特殊直线，一方面和解析几何中的直线方程联系，另一方面又和导数密切相关，同时又有直线与曲线的位置关系的问题.所以切线问题多年来一直是命题者比较亲睐的一个知识点。本文拟就这方面的问题作一探讨，和大家共享. 1求切线方程 1、已知函数．与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线． (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程； (2)设，其中，求F(x)的单调区间． 解：(1)∵过点∴a=-8, ∴切线的斜率 ∵的图像过点∴4b+2c=0, ∵,解得：b=8,c=-16 ∴ 切线方程为．即16x-y-32=0 ∵ 当m0时，∵m0 ∴ 又x1 当时 当时 ∴F(x)的单调减区间是 ∴F(x)的单调增区间是(1，) 即m0时，F(x)的单调递增区间是(1，)，单调减区间是(，) 2、已知函数的导数为实数，. （Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程； （Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数． 解: 解（Ⅰ）由已知得， 由，得，．∵，， ∴ 当时，，递增； 当时，，递减． ∴ 在区间上的最大值为，∴． 又，，∴ ． ，即，得． 故，为所求． （Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上． ⑴ 当切点为时，切线的斜率， ∴ 的方程为，即． ⑵当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率， ∴ 的方程为 ． 又点在上，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即，∴． ∴ 切线的方程为. 故所求切线的方程为或． （ 或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意．） （Ⅲ）解： ． ∴ ． 二次函数的判别式为 ， 令，得： 令，得 ∵，， ∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；…14分 当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点． 3、已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、． （1），求直线、的方程。 (2)设，试求函数的表达式； （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值． 解：（1）设切点横坐标为， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， 解得 切线、的方程为： （2）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：， 切线过点， 有， 即，………① 同理，由切线也过点， 得．………②，由①、②，可得是方程的两根， ，把（ * ）式代入,得, 因此，函数的表达式为． （3）解法：易知在区间上为增函数， ， 则． 依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ， 即对一切的正整数恒成立，． ， ， ．由于为正整数，． 又当时，存在，，对所有的满足条件。 因此，的最大值为． 解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值． ，长度最小的区间为， 当时，与解法相同分析，得， 解得． 后面解题步骤与解法相同（略）． 2探究切线是否存在 5、已知． （）若（）当b为非零实数时，证明（-c）平行的切线； （）记函数||（-1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥． （）∵f′（x）=3x2+2bx+c, 由f（x）在x=1时，有极值-1得 即解得 当b=1，c=-5时，f′（x）=3x2+2x-5=（3x+5）（x-1）, 当x1时，f′（x）0，当-x1时，f′（x）0． 从而符合在x=1时，f（x）有极值．∴ （）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b2-c）x+y+1=0平行, ∵f′（t）=3t2+2bt+c, 直线（b2-c）x+y+1=0的斜率为c-b2, ∴3t2+2bt+c=c-b2, 即3t2+2bt+b2=0． ∵△=4（b2-3b2）=-8b2, 又∵b≠0，△0． 从而方程3t2+2bt+b2=0无解, 因此不存在t，使f′（t）=c-b2, 即f（x）的图象不存在与直线（b2-c）x+y+1=0平行的切线． （）证法一：∵|f′（x）|=|3（x+）2+c-|, ①若|-|1，则M应是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一个， ∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|12, ∴M6， 从而M≥．