高次剩余规律初探(二)..docVIP

高 次 剩 余 规 律 初 探（二） 陈文渊 （陕西咸阳） 摘 要 高次剩余问题，是个未能得到很好解决的问题。本文运用初等数论方法，在以素数为模的情况下，研究了{}、{}类型数集的剩余问题。在延伸前人理论的同时，定义了二项同余方程的真解，研究了二项同余方程解集的内在同余关系和性质；研究了二项同余方程、{}型数集、{}型数集三者之间的内在同余关系和性质。初步给出了高次剩余之和的剩余规律多条，与高次剩余之积的剩余规律多条，以及高次矩阵的剩余规律。 关键词：高次剩余、同余、对模。 一些理论的延伸 定义1：设m是一个大于1的正整数，a是正整数，且（m，a）=1，若有 an≡r （mod m） （1≤r≤m-1） 成立，则r就叫做对模m的高次剩余。 定理（一）p是一个奇素数，a是一个正整数，且（p，α）=1,若p-1= d1·b1 = d2·b2 =……=ds·bs，则 当 ≡r （mod p） 有 ≡1 （mod p） （1≤r≤p-1） 当 ≡r （mod p） 有 ≡1 （mod p） （i=1,2，……s） 证明：由费尔马定理可知 ∵ =ap-1≡1 （mod p） 又 ≡ （mod p） ∴ ≡1 （mod p） 定理（二）p是一个奇素数，a是一个正整数，且（p，a）=1，则 当 ak≡1 （mod p） 有 akn≡1 （mod p） （） 当 ak≡-1 （mod p） 有 ak（2n-1）≡－1 （mod p） 证明：∵（ak）n≡1n （mod p） ∴ akn≡1 （mod p） 同理可得 ∵（ak）2n-1≡（-1）2n-1 （mod p） ∴ ak（2n-1）≡-1 （mod p） 定理（三）若p是奇素数，a是正整数，（p，α）=1，且有 an≡r （mod p） （1≤r≤p-1，） 当 ak≡1 （mod p） 则 ak+n≡r （mod p） 当 ak≡-1 （mod p） 则 ak+n≡p-r （mod p） 证明 ： ∵ ak·an≡1·r （mod p） ∴ ak+n≡r （mod p） ∵ ak·an≡（-1）·r≡p-r （mod p） ∴ ak+n≡p-r （mod p） 定理（四）若p是素数，a，c分别是正整数，且p=a+c， 当 a2n≡r （mod p） （1≤r≤p-1，n∈N） 则 c 2n≡r （mod p） 当 a2n+1≡r （mod p） 则 c 2n+1≡p-r （mod p） 证明：由 p=a+c，得 a=p-c。 ∴ a2n=（p-c）2n =[p（p-2c）+c2]n =pq+c2n 式中q为由二项展开式所有含p各项决定的一个正整数。 ∴ a2n≡c2n （mod p） 已知 a2n≡r （mod p） ∴ c2n≡r （mod p） 同理，由 p=a+c，得 a=p-c。 ∴ a2n+1=（p-c）2n+1 =（p-c）（p-c）2n =a[p（p-2 c）+c2]n =paq+ac2n 式中q为由二项展开式所有含p各项决定的一个正整数。 给上式两边同时加c2n+1，有 a2n+1+ c2n+1=paq+ac2n+c2n+1 =paq+（a+c）c2n =p（aq+c2n） 已知 a2n+1≡r （mod p） ∴ c2n+1≡p-r （mod p） 定理（五）若p是素数，a是正整数，（p，a）=1，在数集{am}中有 ak≡1 （mod p） 当{am