数值积分与数值微分实验报告..docxVIP

实验项目名称：数值积分与数值微分实验目的：熟悉数值积分与数值微分步骤，并用计算机实现实验内容：a. 用三点公式求在处的导数值，并估计误差。的值由下表给出：x1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066b. 用不同的数值方法计算积分：取不同的h,分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h,使得精度不能再被改善？用龙贝格求积计算完成问题(1)用自适应辛普森积分，使其精度达到实验环境：matlab r2010b实验过程与分析：a.一．实验原理：三点公式有以下三种形式：I： =(-3+4-)II： =(-) III： =(-4+3)二．源程序：1). 主函数(保存为m文件直接点击运行即可得到结果)clearclcX =[1.0 1.1 1.2];Y=[0.2500 0.2268 0.2066]; df=threepoints(X,Y)2). 三点公式子函数threepoints.m:function df=threepoints(X,Y)syms x;L=Lagrange(X,Y);L=diff(L,x);df=subs(L,x,X); end3).求插值函数的子函数Lagrange.m：function L=Lagrange(X,Y,t)if(length(X)~=length(Y)) disp(d do not agree);else k=length(X); syms x; w=1; for j=2:k w=w*(x-X(j))/(X(1)-X(j)); end L=Y(1)*w; for i=2:k-1 w=1; for j=[1:(i-1),(i+1):k] w=w*(x-X(j))/(X(i)-X(j)); end L=L+Y(i)*w; end w=1; for j=1:k-1 w=w*(x-X(j))/(X(k)-X(j)); end L=L+Y(k)*w;endif nargin==3 L=subs(L,x,t);else L=vpa(collect(L,x),6);endendb.一．实验原理：复合梯形公式: 复合辛普森公式：然后给出误差公式，并与积分精确值比较两个公式的精度，判断是否存在一 个最小的，使得精度不能再被改善。龙贝格公式：计算表如下：kh…01234……………………可以证明，如果充分光滑，那么上表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I，即： ， .自适应辛普森方法：设给定精度要求,计算积分 的近似值，先取步长h=，应用辛普森公式有, ①其中.若把区间[a,b]对分，步长,在每个小区间上用辛普森公式，则得 ②二．源程序：(1)1).主函数：clearclcsyms xfor i=1:5 disp([h为,num2str(1/(100*i)),时]) disp(复合梯形公式) y=comt(sqrt(x)*log(x),x,eps,1,100*i) disp(复合辛普森公式) y=comsps(sqrt(x)*log(x),x,eps,1,100*i)end2).复合梯形公式子函数comt.m：function Tn=comt(f,x,a,b,n)h=(b-a)/n;k=0:n-1;xk=a+k*h;Tn=h/2*(subs(f,x,a)+subs(f,x,b))+h*sum(subs(f,x,xk));3). 复合辛普森公式子函数comsps.m:function Sn=comsps(f,x,a,b,n)h=(b-a)/n;k=0:n-1;f1=subs(f,x,a+k*h+1/2*h);f2=subs(f,x,a+k*h);Sn=h/6*(subs(f,x,a)+subs(f,x,b)+4*sum(f1)+2*sum(f2(2:n-1)));end (2)1).主函数：syms x;y=Romberg(sqrt(x)*log(x),x,eps,1,0.0001)2).龙贝格求积函数Romberg.mfunction y=Romberg(f,x,a,b,e)T=0;h=b-a;T(1,1)=h/2*(subs(f,x,a)+subs(f,x,b));T(2,1)=comt(f,x,a,b,2);T(2,2)=4/3*T(2,1)-1/3*T(1,1); i=2; while( abs(T(i,i)-T((i-1),(i-1)))e) i=i+1; T(i,1)=comt(f,x,a,b,2^(i-1)); for j=2:i T(i,j)=4^j/(4^j-1)*T(i,j-1)-1/(4^j-1)*T(i-1,j-1); end end y=T(i,i); T=T(1:i,1:i)end(3)1).