数值计算方法教案数值积分..docVIP

第四章 数值积分 一．问题提出： （1）针对定积分，若,a=0,b=1，即有，但当，，……，时，很难找到其原函数。 （2）被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。 二．定积分的几何意义 定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是，y=0，x=a，x=b。 三．机械求积公式 1.中矩形公式 ； 几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。 2.梯形公式 梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积： 3.辛普生公式 辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由三点构成。 4.求积公式的一般形式 ，其中称为节点，称为求积系数，或权。 5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法） 含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。 定义：若某积分公式对于均能准确成立，但对于不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。 解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。 例1．研究中矩形公式的代数精度及几何意义。 解：当时，公式左边，公式右边，左=右； 当时，公式左边， 公式右边，左=右； 当时，公式左边， 公式右边，左右； 故中矩形公式具有1次代数精度。 从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。 例2．研究梯形公式的代数精度及几何意义。 解：当时，公式左边，公式右边，左=右； 当时，公式左边， 公式右边，左=右； 当时，公式左边， 公式右边，左右。 故梯形公式也具有1次代数精度。 从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。 例3．研究辛普生公式的代数精度及几何意义。 解：当时，公式左边，公式右边，左=右； 当时，公式左边， 公式右边，左=右； 当时，公式左边， 公式右边，左=右； 当时，公式左边， 公式右边，左=右； 当时，左右； 故梯形公式具有3次代数精度。 当被积函数为一条直线或一条抛物线时，过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。当被积函数为3次多项式时，辛普生公式也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形面积刚好相等。 6.求积公式的确定 方法一：待定系数法。 例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。 分析：构造一次代数精度的公式，即当及时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。 解：设积分公式为：。 针对及，代入积分公式的左边和右边，有： ，解得， 于是有积分公式：。 该公式即为梯形求积公式。 例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。 解：设积分公式为。 针对，及，代入积分公式的左边和右边，有： ，解得：，， 积分公式为： 该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。 方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn，作n次多项式函数，根据拉格朗日公式：，则有 ，其中， 代数精度的分析：若被积函数是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数即是被积函数本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。 解释：若是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线，其中必有，即； 同理，若是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数，其中必有，即。 四．牛顿-柯特斯公式 1.牛顿－柯特斯公式（等间距的插值型求积公式） 把区间[a，b]分为n等份，步长为h h＝（b－a）/n 则n+1个点分别为：。由这n＋1个点构造的插值型求积公式为： 该公式称为牛顿－柯特斯公式，称为柯特斯系数， 当n＝1时（即2个点，1等份），有梯形公式（1次代数精度）： 当n＝2时（即3个点，2等份），有公式辛普生公式（3次代数精度）： 当n＝4时（即5个点，4等份），有柯特斯公式（5次代数精度） 2.复化求积公式 1.复化梯形求积公式 2.复化辛普生公式 3.变步长算法 梯形公式的逐次分半算法 含义：把区间[a，b]分成n等份计算其n个小梯形面积；再把区间[a，b]分成2n等份计算其2n个小梯形面积。 预备知识： 则有： 先计算，若，再计算，……直到为止，则就是答案。 4.龙贝格求积公式 复化积分的误差公式 h 龙贝格公式推导 公式称为龙贝格公式，龙贝格公式不是牛顿－柯特斯公式。 龙贝格公式求积算法 T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 5.高斯公式 （