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* 一、质量-线性弹簧系统的自由振动 特征根—固有频率(圆频率) 其中： 为积分常数 周期：T 频率：f=1/T 振幅： A 相位：?0t + ? 初相位: ? §7-1、单自由度系统的振动 * 一、质量-线性恢复力系统的自由振动 二、质量-非线性恢复力系统的自由振动 * 振动方程线性化的条件——微振动 三、微幅自由振动微分方程建立的方法 建立微分方程，将非线性函数泰勒展开，略去二阶以上的高阶项 建立微分方程前，将系统的动能、势能函数泰勒展开，略去三阶以上的高阶项 * 例：已知质量m, 杆长l, 求系统微振动固有频率 解：系统的动能和势能 展开保留二阶小量 * 三、弹簧的等效刚度 * §7-2、单自由度系统的阻尼振动 运动微分方程 设： c:粘阻系数 一、欠阻尼状态（? ? ? 0） * 二、过阻尼状态（? ? 0） 三、临界状态（? = ? 0） §7-2、单自由度系统的阻尼振动 c:粘阻系数 * §7-3、单自由度系统的受迫振动 其中： 当 一、无阻受迫振动 当 称为共振频率 * §7-3、单自由度系统的受迫振动 二、有阻受迫振动 * （1）当 （2）当 （3）当 （4）当 B 取得极大值 解的特性讨论 * 例：已知： ，求滑块的动力学方程。 解：应用质心运动定理 取静平衡位置为坐标原点 x为滑块质心的坐标。 * 例：已知： ，求滑块的动力学方程。 应用Lagrange方程 取 x=0,θ=0 为零势能点 * 例：已知, 求相对振动方程。 解：应用牛顿第二定理 将该式对时间求二阶导数 * 例：已知 可靠性与系统工程学院学生会整理 可靠性与系统工程学院学生会整理 达朗贝尔原理 §5-1、动力学普遍方程 虚位移原理： 例：已知重为m2g，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，重量为m1 g的斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微分方程。 1 选取广义坐标 2 施加惯性力 3 主动力、惯性力的虚功 4 动力学普遍方程 例：已知重为m2g，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，重量为m1 g的斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微分方程。 主动力的虚功、广义力 惯性力的虚功、广义力 动力学普遍方程 1，选取广义坐标 x 2，用广义坐标表示势能 3，用广义坐标及其导数的表示动能 4，拉格朗日函数 5，套公式 x=0 时弹簧无变形 例1：已知质量为m1，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，质量为m2 的斜块在光滑水平面上运动。求运动微分方程： 1，选取广义坐标 2，用广义坐标表示势能 3，用广义坐标及其导数的表示动能 如果保守系统的 L 不显含某些广义坐标 上式称为拉格朗日方程的循环积分，相应的坐标称为循环坐标。 称为对应于广义坐标 的广义动量 §4-3、拉格朗日方程的首次积分 例：系统如图所示，杆长为l，质量为m1，圆盘半径为R，质量为m2 。求系统运动微分方程。 解：1、自由度和广义坐标 2、动能和势能 3、拉格朗日方程 例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程。 广义坐标 x 例：系统如图所示，杆长为l，质量为m1，圆盘半径为R，质量为m2 。求系统运动微分方程。 例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程。 L ? T+V=C ? 能量积分 则： 该式称为Lagrange方程的广义能量积分 对于具有定常约束的保守系统一定有 如果保守系统系统拉格朗日函数中不显含时间t， 给出系统的首次积分（1）循环积分（2）能量积分 * 刚体定点运动的角速度和角加速度 角速度 * 角速度 章动角速度 自转角速度 进动角速度 * Q：怎样找到角速度的方向 1 合成 2 寻找刚体上速度为零的点 瞬时转动轴：在某瞬时，刚体上存在一根通过定点O的 轴，在该轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。 * 刚体定点运动的角加速度 * o 向轴加速度 转动加速度 定点运动刚体上各点的加速度 * 例：已知 的大小为常量，求圆盘的角速度 和角加速度 随体坐标系：DC 自转轴 章动角： 900 进动角：DC-z 平面相对于xoz平面的转角 自转角：圆盘相对于框架 DC-z 章动角速度：0 进动角速度： 自转角速度： 角速度： 角加速度： * 例：已知OA轴绕铅垂轴匀角速转动，圆盘与碾盘无滑动，求M点的速度和加速度 A O C M 随体坐标系：OA 自转轴 章动角： 900 进动角：OA的转角 自转角：圆盘相