立體几何中的开放探索性问题.docVIP

立体几何中的开放探索性问题 衡阳县一中 王爱民 马中平 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 题型解读 数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题型按解题目标的操作模式分为：规律探索型，问题探究型，数学建模型，操作设计型，情景研究型．如果是未知的是解题假设，那么就称为条件开放型；如果是未知的是解题目标，那么就称为结论开放型；如果是未知的是解题推理，那么就称为策略开放型．当然，作为数学高考试题中开放题其＂开放度＂是比较弱的，如何解答立体几何中的这类问题，还是通过实际例子加以说明． 规律探索型 例1． 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是, 黑蚂蚁的爬行路线是,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n段所在直线必须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是多少? 分析：本题黑白两个蚂蚁都走完2005段，步数比较大，因此肯定要探索出一个周期性出来。依照规则黑蚂蚁的爬行路线是，走6段又回到出发点A。故而它们的周期为6。。所以黑蚂蚁走完2005段后停止在正方体的B顶点处，白蚂蚁走完2005段后停止在正方体的顶点处。故这时黑白两个蚂蚁的距离是。这类题为操作性探索题，要求同学们大胆动手，必须探索出一个规律性来。 操作设计型 例2．（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （Ⅲ）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明． 【分析】 本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力． 通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十个年头．这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向，也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革．这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定．回顾这些年来高考中有关数学应用的问题，所涉及的知识面上还存在一定的局限性，多数是函数知识和数列知识的运用．前年试题选择题中出现的“民房屋顶面积”问题，各地反映良好，去年设计的“纸片剪拼”问题，目的在于尝试开拓数学应用的新领域． 用纸片做有规则的几何体模型，是《立体几何》课本的要求，如习题七中的第1题和习题八中的第1题．本试题的设计是在这个基础上，增加剪拼模型的条件的限制，提高操作难度，以期考查出空间想象能力和动手操作能力． 由于这种试题第一次出现，注意由浅入深，首先是剪拼“正三棱锥”，这与习题八第1题相似，是多数考生能够完成的．其次用正三角形纸片剪拼“正三棱柱”，要有较丰富的想象力，本题有多种剪拼方法，充分体现“开放性”，给考生提供广阔的思维空间．再次，将纸片一般化为任意三角形、剪拼“直三棱柱”，考查的是能力的迁移，将具体的问题抽象化，难度较高，估计绝大多数考生在限时内难以完成、，故作为“附加题”出现，能完成者有“奖励分”．这种问题的提出估计能解答者甚少，但能倡导探究，倡导创造、发现，对于培养高素质的人才是有益的． 理解“全面积相等”的条件，就是剪拼出来的几何体不能缺某个面，也不能剪拼成几何体后还剩余纸片，但纸片的裁剪块数是没有限制的，因之有多种剪拼方法． 解：（Ⅰ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥． 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角．余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底． （Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V柱＞V锥． 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为．现在计算它们的高： ，． ∴ 所以，V柱＞V锥． （Ⅲ）（附加题） 如图3，分别连续三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型． 正