优·第三章中值定理与导数的应用.pptVIP

第一节.中值定理 ●泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f(x)在含有　　的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数 则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为　 的一个n次多项式与一个余项　 之和： 我们知道闭区间[a,b]上的连续函数总存在最大值和最小值，那么怎样找出这些最大值和最小值呢？ 第七节.曲线的凹凸性与拐点 从图形上看很能理解 定义1. 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点　　　恒有： 　 那末称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有: 那末称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。 拐点 函数图象的讨论 二.成本 某产品的总成本 是指一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格费用总额，它由固定成本与可变成本组成。 平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。 边际成本是总成本的变化率。 三.收益 总收益——生产出售一定量产品所得到的全部　　　　　收入。 平均收益——生产者出售一定量产品，平均每　　　　　　出售单位产品所得到的收入，即　　　　　　单位商品的售价。 边际收益——总收益的变化率。 总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数。 四.函数的相对变化率——函数的弹性 例：商品甲每单位价格10元，涨价1元。商品　　　乙每单位价格1000元，也涨价1元。两　　　种商品价格的绝对改变量都是1元，但　　　各与其原价相比，两者涨价的百分比却　　　有了很大的不同，商品甲涨了10%，而　　　商品乙涨了0.1%。 　因此　我们还有必要研究函数的相对改变量与　　　相对变化率。 五.需求函数与供给函数 需求函数 　设Ｐ表示商品价格，Ｑ表示需求量 　Q=f(p)称为需求函数 　一般说来，商品价格低，需求大，商品价格高，需求小， 　因此，一般需求函数Q=f(p)为单调减少函数。 　 六.需求弹性与供给弹性 ＊需求弹性是刻划当商品价格变动时需求变动的强弱 ◆定义：需求函数Q=f(p)在　　处可导，则 作业 补充题：（赵树源　P121） 　1.某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品 　的总成本C（单位：元）是日产量x（单位:吨）的函数。 2.设某产品生产x单位的总收益R为x的函数 　　求：生产50单位产品时的总收益及平均单位　　　产品的收益和边际收益 　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，　为平均收益，R’为边际收益。 　　需求函数　 　　总收益函数　 　　平均收益函数 　　 边际收益函数　　 例1.设某产品的价格与销售量的关系为 P=10-Q/5,求销售量为30时的总收 　　 益，平均收益与边际收益。 解： 下面讨论最大利润原则 　设总利润为L，则 取得最大值的必要条件： 即： 边际收益＝边际成本 取得最大利润的充要条件： 例2.已知某产品的价格与销售量的关系为 　　　　　　　，成本函数为C=50+2Q 求：产量为多少时，总利润Ｌ最大？ 　　　　 并验证是否符合最大利润原则 　解： 　　　　　 即： 又： 符合最大利润原则 例3.　某工厂生产某种产品，固定成本 20000元，每生产一单位产品，成本 　　　增加100元 。已知总收益Ｒ是年产 　　　量Ｑ的函数 问：每年生产多少产品时，总利润最大？ 　　　此时总利润是多少？ 解：根据题意，总成本函数为 　　　 从而可得总利润函数为 ★分段点可用定义证 又： 令： 则： Q=300,L最大 例如：　　　，当x由10改变到12时，y由100改　　　变到144，此时，自变量与因变量的绝对改变量 分别为　　　　　 而　　　　　　　　　　　，这表示当x=10改变到12，x产生了20%的改变，y产生了44%的改 变，这就是相对改变量。 这表示在(10,12)内从x=10，x改变1%时，y平均改变2.2%。 我们称它为x=10到x=12,函数　　　的平均相对变化率。 定义：设函数f(x)在　处可导，函数的相对改变量 与自变　　　　量的相对改变量　　之比　　 　　　　　 　　　　　称为函数f(x)从　　到　　　两点间的相对变化率或两　　　　点间的弹性。 称为f(x)在 处的相对变化率或称为弹性 记作： 对一般x，若f(x)可导，则有： 是x的函数，称为f(x)的弹性函数。 例1.求函数y=3+2x在x=3处的弹性　 　解： 例2. 求函数　　　 的弹性函数　　及 解： 例3.求函数　　（　为常数）的弹性函数　　 解： 有反函数 也称为需求函数 需求函数Q