(新)弹性力学 平面问题的极坐标解答3-4——精品.pptVIP

第四章 平面问题的极坐标解答 4—1 极坐标中的平衡微分方程 4—2 极坐标中的几何方程和物理方程 4—3 极坐标中的应力函数与相容方程 4—4 应力分量的坐标变换式 4—5 轴对称应力和相应的位移 4—6 圆环或圆筒受均布压力 4—9 半平面体在边界上受集中力 4—8 圆孔的孔边、应力集中 4—10 半平面体在边界上受分布力 4—1 极坐标中的平衡微分方程 4—2 极坐标中的几何方程和物理方程 几何方程 物理方程 平面应力情况 4—3 极坐标中的应力函数和相容方程 ?是极坐标下的应力函数，是r、?的函数 将x轴转到与r重合，可得 极坐标下得应力分量（忽略体力）： 4—5 轴对称应力和相应的位移 应力状态对称于过z轴的任意平面，也就是绕z轴是对称的，所以，应力分量也是轴对称的，也即，应力分量只是r的函数，不随?而变化 用逆解法：设应力函数为?= ?（r） 相应的应力分量为： 将应力函数代入相容方程得： 应变分量 由此可见，应变分量也只是r的函数，与?无关，即应变绕z轴对称 由此可以看出，应力分量只是r的函数，不随?而变化，且只有正应力，无剪应力 上式中A、B、C、H、F、I、K是待定常数，且H、I、K 为刚体位移. 位移分量 将上述变形公式中的E E/（1-?2）； ? ?/（1- ?），就得平面应变问题中轴对称问题的变形和位移公式 图示圆环或圆筒，内半径为a，外半径为b，受均布内压qa和均布外压qb作用 4—6 圆环或圆筒受均布压力 由于结构轴对称，荷载轴对称，所以应力分量也是轴对称，直接利用公式 利用边界条件求待定常数A、B、C 由上述两个边界条件不能完全确定A、B、C，因此要考虑位移单值条件 考察环向位移： 根据位移单值条件，可知：B=0 4—8 圆孔的孔边、应力集中 一、应力集中： 具有小孔的弹性体，受力时孔边的应力远大于无孔时的应力或距孔边稍远处的应力，这种现象称为应力集中现象 二、应力集中的原因： 不是由于截面减小而使应力增大，而是由于孔的存在，孔附近的应力状态与应变状态完全改变了 三、应力集中的特点： （1）局部现象：离孔越远，应力集中现象消失越快 （2）应力集中程度与孔的形状有关，圆孔较小；尖 角孔应力集中程度高 （3）同样形状的孔,应力集中的倍数与孔的大小无关 四、圆孔的孔边应力集中问题 坐标轴如图所示，因为我们要研究孔边应力，所以采用极坐标 a、矩形薄板四边受拉 四、圆孔的孔边应力集中问题 圆孔的孔边应力可以用较简单的数学工具描述 由于应力集中的局部性，在大圆周处，应力情况与无孔时相同 原来的问题就转换成这样一个新问题：内半径为a，外半径为b的圆环，在外边界受拉应力?r的作用，如图 其解答可用前面讨论过的圆环受均布压力时的解答（拉密解），即： b、矩形薄板左右两边受均布拉，上下两受均布压 原来的问题就转换成这样一个新问题：内半径为a，外半径为b的圆环，在外边界受拉应力?r=qcos2?和剪应力?r?=-qsin2?的作用 孔边的边界条件为： 用半逆解法： 所以，可假设应力函数： 将其代入相容方程： A、B、C、D为待定常数，由边界条件确定 由此求得A、B、C、D 最后求得应力分量为： c、矩形薄板左右两边受不相等得均布拉力 将两部分解答叠加，即得q1、q2作用下的应力分量 其应力分量为： 讨论： ? 0? 30? 45? 60? 90 ? ?? -q 0 q 2q 3q 2、沿y轴应力：?=90? 或 ?=-90? r a 2a 3a 4a ?? 3q 1.22q 1.07q 1.04q 3、沿x轴应力：?=0? 归纳： （1）上述公式是计算圆孔孔边应力的基本公式，它只是对无限域中的小圆孔才是精确的，但由于孔边应力集中是局部现象，所以只要弹性体的边界离开圆孔中心由足够的距离，应用公式时不会引起较大的误差 （2）对任意形状的薄板，受有任意面力，在距离边界较远处有一小圆孔，如何求孔边应力？ a、先求出无孔时相应于圆中心孔处的应力分量，再据此求出两个主应力?1、?2和应力主向 b、圆孔很小时，圆孔附近可看作是沿两个主向分别受均布拉力q1= ?1及q2= ?2的情况，就可以用前面所讨论的叠加法，这样做虽然有误差，但在实际工程中很有参考价值 4—8 圆孔的孔边、应力集中 一、应力集中： 具有小孔的弹性体，受力时孔边的应力远大于无孔时的应力或距孔边稍远处的应力，这种现象称为应力集中现象 二、应力集中的原因： 不是由于截面减小而使应力增大，而是由于孔的存在，孔附近的应力状态与应变状态完全改变了 三、应力集中的特点： （1）局部现象：离孔越远，应力集中现象消失越快 （2