第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docVIP

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数 教学重点：隐函数求导 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法 教学内容： 一、隐函数的导数 函数表示两个变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如，等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有确定的值与之对应。例如，当时，；当时，，等等。这样的函数称为隐函数。 一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。 例1： 求由方程所确定的隐函数的导数。 解：我们把方程两边分别对求导数，注意是的函数。方程左边对求导得 ， 方程右边对求导得 。 由于等式两边对x的导数相等，所以 ， 从而 。 在这个结果中，分式中的是由方程所确定的隐函数。 隐函数求导方法小结： （1）方程两端同时对求导数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待，例如。 （2）从求导后的方程中解出来。 （3）隐函数求导允许其结果中含有。但求一点的导数时不但要把值代进去，还要把对应的值代进去。 例2： ，确定了是的函数，求。 解：，，时，。 例3：函数由方程所确定，则 解：方程两端求微分得 所以 例4：已知，求， 解：两边取对数 所以， 二、取对数求导法 对于幂指函数是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，从而求出导数。 例5： 求的导数。 解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得； 上式两边对求导，注意到是的函数，得 ， 于是 。 由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简。 例6： 求的导数。 解：先在两边取对数（假定），得 ， 上式两边对求导，注意到是的函数，得 ， 于是 。 当时，； 当时，； 用同样方法可得与上面相同的结果。 注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。 三、由参数方程确定的函数的导数 若由参数方程确定了是的函数，如果函数具有单调连续反函数，且此反函数能与函数复合成复合函数，那么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数、复合而成的函数。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数、都可导，而且。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有 ， 即 。 上式也可写成 。 如果、还是二阶可导的，由还可导出对的二阶导数公式： ， 即 例7：设函数 由参数方程所确定，则=__________ 解： 例8：设，则。 解：由于 所以。 经济数学---微积分教案 1 山 东 女 子 学 院