指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本.docVIP

1．三种函数的增长特点 (1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快． (2)当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快． (3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快． 2．三种函数的增长比较 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝xn(n＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有ax＞xn＞logax. [小问题·大思维] 1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？ 提示：结合图像知一定成立． 2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？ 提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2. [研一题] [例1]　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2 5 94.478 1 785.2 33 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108 y3 5 30 55 80 105 130 155 y4 5 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是________． [自主解答]　以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案]　y2 [悟一法] 解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断． [通一类] 1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024 x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 2x＋7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 log2x 0 1 1.585 0 2 2.321 9 2.585 0 2.807 4 3 3.169 9 3.321 9 试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长的快慢有什么不同？ 解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大； (2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小. [研一题] [例2]　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ [自主解答]　设第x天所得回报是y元． 由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)． 作出三个函数的图像如图： 由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三． 通过计算器计算列出三种方案的累积收入表. 天数 累积收益 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 … ∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三． [悟一法] (1)解决应用