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证题中平面向量的巧用 　　摘 要： 平面向量进入中学教材，为考生使用代数方法研究问题提供了强有力的工具.近几年高中改革的趋势是几何问题代数化，对于向量而言，它具有“双重身份”，不仅像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，而且能利用几何意义进行几何形式的变换.于是，它越来越频繁地成为联系多种知识的媒介.本文就平面向量自身的优越性例谈它在解决一些问题中的妙用. 　　关键词： 平面向量 证明 巧用 　　一、证明等式 　　例1：设（x■+y■）（m■+n■）=（mx+ny）■（mn？堍0），求证：■=■. 　　分析：由条件知x■+y■，m■+n■分别是坐标（x，y），（m，n）对应模的平方，而结论的变形nx-my=0是这两个向量共线的充要条件，从而可以构造向量求解. 　　证明：若x=y=0，结论显然成立. 　　若x，y不全为零，不妨设■=（x，y），■=（m，n），则cos=■=■=1 　　∴=0或=π 　　∴■∥■ nx-my=0 　　∵mn≠0 　　∴■=■ 　　二、证明不等式 　　例2：设-■≤a≤■，b≠0，a，b∈R，求（a-b）■+（■-■）■的最小值. 　　解：设■=（a，■） 　　∴|■|=■=■ 　　■=（b，■） |■|=■ 　　■-■=（a-b，■-■） 　　∵|■-■|≥|■|-|■| 　　∴■≥■-■≥3■-■=2■ 　　即（a-b）■+（■-■）■≥8当且仅当b■=■即b=±3时取等号 　　故（a-b）■+（■-■）■的最小值为8. 　　例3：证明柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式（■a■?b■）■≤■a■■?■b■■ 　　证明：设■={a■，a■，a■，…，a■}，■={b■，b■，b■，…，b■} 　　∵■?■=■a■?b■ |■|=■ |■|=■ 　　又∵|■?■|≤|■|?|■| 　　∴|■a■?b■|≤■ 　　∴（■a■?b■）■≤■a■■?■b■■ 　　评注：用向量证明不等式或用向量求函数的最值（或值域）的依据是我们常用的几个结论： 　　（1）由■?■=|■|?|■|?cosθ（其中θ是两向量的夹角）可知： 　　①■?■=|■|?|■|（当且仅当■，■同向时取等号）； 　　②|■?■|≤|■|?|■|（当且仅当■，■平行时取等号）； 　　③（■?■）≤|■|■?|■|■（当且仅当■，■平行时取等号）. 　　（2）|■|-|■|≤|■+■|≤|■|+|■|，当■，■同向时右边不等式取等号，当■，■反向时左边不等式取等号. 　　（3）|■|-|■|≤|■-■|≤|■|+|■|，当■，■反向时右边不等式取等号，当■，■同向时左边不等式取等号. 　　三、在三角函数中的应用 　　问题的解决必须找到最佳切入点，用向量解决问题.最佳切入口是分析向量结构，即研究向量之间关系. 　　例4：证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 　　分析：可以用类比联想的方法把cosαcosβ+sinαsinβ与x■x■+y■y■看做向量■=（x■，y■）与■=（x■，y■）的数量积，即■?■=x■x■+y■y■.因此cosαcosβ+sinαsinβ可以看做是两个向量的数量积.又从cos（α-β）入手，可以把（α-β）看做向量夹角.由数量积公式■?■=|■|?|■|?cos，若|■|=1，■=1，则有■?■=cos，利用单位圆即可解决. 　　证明：如图，设角α，β的终边与单位圆相交于A、B，则向量： 　　■=（cosα，sinα），■=（cosβ，sinβ），于是： 　　■?■=|■|?|■|?cos（α-β）=cos（α-β） 　　又∵■?■=cosαcosβ+sinαsinβ 　　∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 　　例5：证明余弦定理 　　证明：如图所示设■=■，■=■，■=■ 　　由■+■+■=■，得-■=■+■ 　　∴（-■）■=（■+■）■ 　　∴（■）■=（■）■+（■）■+2■?■ 　　=（■）■+（■）■+2|■|?|■|cos（π-C） 　　=|■|■+|■|■+2|■|?|■|?cosc 　　∴c■=a■+b■-2abcosC 　　同理可得：a■=b■+c■-2bccosA b■=c■+a■-2cacosB 　　评注：通过构造向量解决三角函数问题，解法新颖而精巧，成功地将较繁琐的三角函数问题转化为向量问题，解法简洁流畅.解这类问题时，关键是要熟练地掌握向量数量积的坐标运算公式，通过公式，将向量问题转化为一般的数学问题进行求解，体现了“向量问题函数化，函数问题向量化”的等价转化思想.其中，模的平方与向量数量积之间的关系|■|■=■?■=x