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也谈数学解题中逆向思维的应用 　　摘要：正向思维是解决问题的正常途径，但对一些问题一筹莫展时，若改变思维方向，运用逆向思维的思考方式，从反面去观察和思考问题，由此去寻找出解决问题的途径，往往会取得意想不到的效果。本文通过大量实例，结合笔者多年教学实践，分析探讨“逆向思维”在中学数学解题上几个方面的应用，供大家参考。 　　关键词：数学解题 逆向思维 应用 　　引言 　　在数学教学中，运用逆向思维解题，能够使我们从不同角度和不同的方向去思考和探索问题，去拓宽学生的解题思路，使学生更灵活、更快捷地解决数学问题。由于数学定义，公式都有可逆性，不少数学定理、数学运算以及解题过程也有可逆性，这些可逆性理论为逆向思维提供了理论依据。下面，结合多年教学实践，通过部分实例，谈谈“逆向思维”在中学数学解题教学中的具体应用。 　　一、定义教学中 　　“定义法”是常见的一种解题方法，定义的逆用，往往更能有效的解决问题，更能使学生深刻理解概念的本质。 　　例1 若化简|1-x|―|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围。 　　分析：原式=|1-x|-|x-4| 　　根据题意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5 　　从绝对值定义的反向考虑，推出条件是： 　　1-x≤0，且x-4≤0 　　∴x的取值范围是：1≤x≤4 　　二、公式教学中 　　对于公式既要掌握其正用，又要灵活掌握其逆用变用。逆用和变用就是逆向思维。逆用公式（包括公式变形的逆用），往往可以使问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的灵活性、变通性，使学生养成善于逆向思维的习惯，提高灵活运用知识的能力。公式逆用是学生常常感到困惑的一个问题，也是教学中的一个难点，教学中必须强化这方面的训练。 　　例2 设两个自然数的和是20，求这两个数乘积的最大值。 　　解：逆用完全平方公式： 　　设两个自然数是a、b，且a+b=20，则 ab=1/4〔（a+b）2-（a-b）2〕=1/4[202 -（a-b）2] 　　∵（a-b）2 ≥0 ∴当a-b=0，即a=b时，ab有最大值，最大值为100。 　　例3 计算1.34×0.34×2.68-1.343-1.34×0.342 　　解：逆用乘法分配律和完全平方公式： 　　原式=-1.34×（1.342+0.342-0.34×2.68） 　　=-1.34×[（1.34-0.34）2+2×1.34×0.34-0.34×2.68] 　　=-1.34×[12+0]=-1.34 　　例4 计算9982 　　解：逆用平方差公式： 　　原式=9982-22+22=（998-2）（998+2）+4=1000×996+4=996004 　　三、方法教学中 　　1.反证法：就是先假设结论的反面成立，推出与已知或定理矛盾，从而推翻假设，肯定原结论的一种证明方法。这种证明方法，可使许多正面不好解决的变得简单多了。 　　例5 若a∥b，c∥b.求证a∥c 　　证明：假设a与c不平行，则a，c相交，有一个交点O. 　　∵a∥b，c∥b， 　　∴过点O有两直线a、c与b平行， 　　这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾 　　∴a∥c 　　分析法：即从结论出发，探索使其成立的条件，判断若条件具备，则结论肯定成立。这也是逆向思维的一种运用。 　　例6 若关于x的不等式（a-1）xa2-2的解集为x2，求a的值。 　　分析：由不等式性质3，从反向进行分析，得： 　　a-10，且a2-2=2（a-1） 易得，a=0. 　　3.换元法：也称代换法，是一种常见的解题方法。即根据题目其结构特征，逆向寻求代换，将问题转化后得以解决。 　　例7 已知y=x+√（1-x），求y的取值范围。 　　若直接入手，有点难度，但可假设： t=√（1-x），得出：x=1-t2 　　∴ y=1-t2+t=-t2+t+1 　　∴ y=-（t-0.5） 2+1.25 　　∴ y≤1.25 　　例8 若方程x2- mx+m+3=0至多有一个负根，试求m的取值范围。 　　分析：二次方程的两个根至多有一个负根，则它的反面就是两个根都是负根，从此入手，可解。 　　解若方程有两负根，必须同时满足下列不等式：△≥0 ， x1+ x20 　　即：m2-4（m+3） ≥0，m0.解不等式组得-3m≤-2。 　　故要方程至多有一个负根时，m的取值范围是：m≤-3或m-2。 　　四、运算技巧教学中 　　例9 计算（12+32+52+ …… +992）-（22+42+62+ …… +1002） 　　解 原式= （12-22）+（32-42）+ …… +（992-1002） 　　= （1-2）（1+2）+（3-4）（3+4