2009年江苏省通州市高三第四次调研测试数学试卷.docVIP

通州市高三数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在答卷上的相应位置． 1．已知集合，，则集合 . 2．设为复数，为虚数单位，若，则 ． 3．等差数列中，若，则 . 4．已知的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图分析，与线性相关，且，则 ． 5．定义符合条件的有序数对（x，y）为“和谐格点”，则当a=3时，“和谐格点”的个数是 . 6．如图，该程序运行后输出的结果为 . 7．设是球表面上的四个点，两两垂直，且，则球的表面积为 . 8．如图，在直角坐标系中，已知射线，，过点作直线分别交射线于两点，且，则直线的斜率为 . 9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .（结果用最简分数表示） 10．函数的图像经过四个象限的充要条件是 . 11．椭圆的一个焦点为F，点P在椭圆上，且（O为坐标原点）为等边三角形，则椭圆的离心率 . 12．若直线与圆相切，则实数的取值范围是 . 13．若关于的不等式的解集恰好是，则 . 14．对于自然数，设，如，对于自然数，当时，设， ，则 . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在中，，. （1）求边的长度； （2）求的值. 16．（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系中，，，，，设的外接圆圆心为E． （1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值； （2）设点在圆上，使的面积等于12的点有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由. 17．（本小题满分14分）17.(本小题满分15分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、A1D1、C1D1的中点（如图）。 （1）求证：B1G⊥CF； （2）若P是A1B1上的一点，BP∥平面ECF，求A1P∶A1B1的值。 18．（本小题满分16分） 某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19．（本小题满分16分） 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值； （3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 20．（本小题满分16分） 数列、由下列条件确定： ①，； ②当，与满足如下条件： 当时，，； 当时，，. （1）如果，，试求，，，； （2）证明：数列为等比数列； （3）设()是满足…的最大整数，证明：.  附加题： 一、选做题：本大题共小题，请从这题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分． 1．（几何证明选讲）如图，⊙O1与⊙O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E．求证：AB·CD＝BC·DE． 2．（矩阵与变换）已知矩阵 ，向量. （1）求矩阵的特征值、和特征向量、； （2）求的值. 3．（坐标系与参数方程）求经过极点三点的圆的极坐标方程. （不等式选讲）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|恒成立，试求实数x的取值范围二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 、如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点． （1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值； （2）求二面角A－BE－C的余弦值． 、在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做这两题的可能性均为. （1）求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率； （2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望. 参考答案： 1、 2、2 3、40 4、2.6