2009届高三数学第二轮复习(数列综合）.docVIP

第八讲 数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1、 (2008福建文) 已知是整数组成的数列，，且点在函数的图像上：（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求证： .解：（1）由已知得：， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即 （2）由（1）知 所以： 2、(2008福建理) 已知函数. 　　（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； 　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. (Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x, 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以 x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:, 由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: 注意到,从而 ①当,此时无极小值； ②当的极小值为,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值. 3、（2008安徽理）设数列满足为实数 （Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是； （Ⅱ）设，证明：; （Ⅲ）设，证明： 解 (1) 必要性 ： ， 又 ，即 充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明 当时，.假设 则，且 ，由数学归纳法知对所有成立 (2) 设 ，当时，，结论成立 当 时， ,由（1）知，所以 且 (3) 设 ，当时，，结论成立 当时，由（2）知 4．（2008北京理）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列 ． 对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列； 又定义． 设是每项均为正整数的有穷数列，令． （Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，． 4．（Ⅰ）解：， ， ； ， ． （Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为， 则为，，，，， 从而 ． 又， 所以 ， 故． （Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列． 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 则． 当存在，使得时，若记数列为， 则． 所以． 从而对于任意给定的数列，由 可知． 又由（Ⅱ）可知，所以． 即对于，要么有，要么有． 因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有． 即存在正整数，当时，． 5、(2008湖南理)数列 (Ⅰ)求并求数列的通项公式； (Ⅱ)设证明：当 13．解: (Ⅰ)因为所以 一般地，当时， ＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①-②得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时， 于是当时， 综上所述，当时， 6、(2008江西理) 等差数列各项均为正整数，，前项和为，等比数列中，，且，是公比为64的等比数列． （1）求与； 2）证明：＋＋……＋＜． }公差为d，由题意易知d≥0，且d∈N*， 则{}通项=3 +（n－1）d，前n项和。 再设{}公比为q，则{}通项 由可得 ① 又{}为公比为64的等比数列， ∴，∴ ② 联立①、②及d≥0，且d∈N*可解得q = 8，d = 2 ∴{}通项= 2n + 1 ，n∈N* {}通项，n∈N* （2）由（1）知，n∈N* ∴，n∈N* ∴ ★★★高考要考什么 本主要涉及等差数列的定义、通项公式、前n项和及其性质 高考对本考查比较全面每年都不遗漏 间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意