2008年全国中考数学压轴题精选(九).docVIP

2008年全国中考数学压轴题精选(十) 92.（08四川资阳24题）24．（本小题满分12分） 如图10，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （08四川资阳24题解答）(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC， 又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC∽ ΔCOB， 1分 ∴． 又∵A(–1，0)，B(9，0)， ∴，解得OC=3(负值舍去)． ∴C(0，–3)， 3分 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)， ∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=， ∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x2–x–3． 4分 (2) ∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)， ∴OO′=4，O′(4，0)， 5分 ∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D， ∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°， 连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5． ∴D(4，–5)． 6分 ∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴ 7分 解得 ∴直线BD的解析式为y=x–9. 8分 (3) 假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD， 解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则． 分两种情况(如答案图1所示)： ①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)． ∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合， 因此，点Q1(7，–4)符合， ∵D(4，–5)，Q1(7，–4)， ∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x–． 9分 解方程组得 ∴点P1坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]． 10分 ②∵Q1(7，–4)， ∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合． ∵D(4，–5)，Q2(7，4)． ∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x–17． 11分 解方程组得 ∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]． 12分 ∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)． 解法二：分两种情况(如答案图2所示)： ①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD． ∵B(9，0)，C(0，–3)． ∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x–3． 又∵DP1∥CB，∴设直线DP1的解析式为y=x+n． 把D(4，–5)代入可求n= –， ∴直线DP1解析式为y=x–． 9分 解方程组得 ∴点P1坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]． 10分 ②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得ΔNBD≌ΔMDB(SAS)，∴∠NDB=∠CBD． 由①知，直线BC解析式为y=x–3． 取x=4，得y= –，∴M(4，–)，∴O′N=O′M=，∴N(，0)， 又∵D(4，–5)， ∴直线DN解析式为y=3x–17． 11分 解方程组得 ∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]． 12分 ∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)． 解法三：分两种情况(如答案图3所示)： ①求点P1坐标同解法二． 10分 ②过C点作BD的平行线,交圆O′于G, 此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD． 由(2)题知直线BD的解析式为y=x–9, 又∵ C（0，–3） ∴可求得CG的解析式为y=x–3, 设G（m,m–3），作GH⊥x轴交与x轴与H， 连结O′G,在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=７， 由D（4，–5）与G(7，4)可得， DG的解析式为， 11分 解方程组得 ∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]． 12分 ∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)． 说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此步骤给分. 93.（08福建南平26题）26．（14分） （1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点． ①如图1，求证：； ②探究：如图1， ； 如图2， ； 如图3， ． （2）如图4，已知：是以为边