数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第18课　利用导数研究函数的最（极）值Word版含解析.docxVIP

第18课　利用导数研究函数的最(极)值【自主学习】第18课 利用导数研究函数的最(极)值(本课时对应学生用书第45~47页)自主学习　回归教材1. (选修2-2P31例2改编)函数f(x)=x3-4x+的极大值是　，极小值是　.【答案】　-5【解析】f(x)=x2-4，令f(x)=0，解得x1=-2，x2=2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-∞，-2)-2(-2，2)2(2，+∞)f(x)+0-0+f(x)↗极大值f(-2)↘极小值f(2)↗因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5.2. (选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-x2-x+a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为　.【答案】【解析】f(x)=3x2-2x-1，令f(x)=0，则x=-或x=1.当x-或x1时，f(x)0；当-x1时，f(x)0，所以当x=1时，f(x)取得极小值，当x=-时，f(x)取得极大值.因为极小值是f(1)=a-1=1，所以a=2，所以f(x)的极大值为f=+a=.3. (选修2-2P33例2改编)函数f(x)=x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为　.【答案】π【解析】f(x)=+cos x，x∈[0，2π].令f(x)=0，解得x1=，x2=.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x02πf(x)+0-0+f(x)0↗极大值↘极小值↗π由上表可知，函数f(x)=x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为π.4. (选修2-2P34习题8改编)函数y=x+sin x，x∈[0，2π]的值域为　.【答案】[0，2π]【解析】因为y=1+cos x≥0，所以函数y=x+sin x在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π].5. (选修2-2P34习题7改编)若函数y=3x3-9x+a有两个零点，则实数a=　.【答案】±6【解析】由y=9x2-90，得x1或x-1，所以当x=1时，y极小值=a-6；当x=-1时，y极大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=±6.1. 函数的极值若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极大值，记作y极大值=f(x0)；若在x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值，记作y极小值=f(x0).2. 求函数极值的步骤(1)求导数f(x).(2)求方程f(x)=0的所有实数根.(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化，若f(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点.3. 函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax=f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).4. 求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间[a，b]上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【要点导学】要点导学　各个击破　利用导数研究函数的极值例1　判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说明理由.(1)y=8x3-12x2+6x+1；(2)y=1-(x-2.【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反.【解答】(1)因为y=24x2-24x+6，令y=0，即24x2-24x+6=0，解得x=，当x时，y0；当x时，y0，所以此函数无极值.(2)当x≠2时，有y=-(x-2.当x=2时，y不存在，因此y在x=2处不可导.但在x=2处的左右邻域y均存在，且函数y=f(x)在x=2处连续，故可依据y在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x2时，y0；当x2时，y0.故y=f(x)在点x=2处取极大值，且极大值为f(2)=1；无极小值.【精要点评】判断一个函数是否有极值，不能只求解y=0，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则在该点的左右邻域应是单调的，并且单调性应相反.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)=0的根；(3)检查f(