数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第25课　三角函数的图象和性质Word版含解析.docxVIP

第25课　三角函数的图象和性质【自主学习】第25课 三角函数的图象和性质(本课时对应学生用书第65~66页)自主学习　回归教材1. (必修4P37例1改编)函数y=sin的单调增区间为　.【答案】(k∈Z)【解析】令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)，可得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).2. (必修4P33例4改编)函数y=tan的定义域为　.【答案】【解析】因为-2x≠kπ+(k∈Z)，则x≠--(k∈Z)，所以定义域为.3. (必修4P32练习6改编)函数y=cos的单调增区间为　.【答案】(k∈Z)【解析】令-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z)，得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，故所求单调增区间(k∈Z).4. (必修4P32习题5改编)函数y=2sin x的值域为　.【答案】[1，2]【解析】根据正弦函数的图象可知，当x=时，函数取得最小值1；当x=时，函数取得最大值2.5. (必修4P30例2改编)设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值，则M+m=　.【答案】-2【解析】因为-1≤cos x≤1，所以-≤cos x-1≤-，所以M=-，m=-，所以M+m=-2.正弦、余弦、正切函数的性质解析式y=sin xy=cos xy=tan x定义域RR值域[-1，1][-1，1]R零点x=kπ，k∈Zx=kπ+，k∈Zx=kπ，k∈Z对称轴x=kπ+，k∈Zx=kπ，k∈Z无周期性T=2πT=2πT=π单调增区间(k∈Z)[2kπ-π，2kπ](k∈Z)(k∈Z)单调减区间(k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)无【要点导学】要点导学　各个击破　三角函数的定义域与值域例1　(1)函数y=+lg(2sin x-1)的定义域为　.(2)函数y=的值域为　.【思维引导】(1)函数有意义的条件是被开方数非负，真数大于0，以及分母非零.(2)本小题是由三角函数构成的一次分式函数，考查三角函数与一次分式函数的性质，可以利用sin x的有界性和一次分式函数y=的有关性质求解.【答案】(1)(k∈Z)(2)【解析】(1)由题意得解得所以即x∈(k∈Z).(2)因为y==1-，所以当sin x=-1时，ymin=1+=，所以值域为.【精要点评】(1)通过列不等式组得到关于x的不等式，即可求出函数的定义域.(2)还可以将sin x表示为y的函数：sin x=(y≠1)，利用sin x的有界性，即可得到-1≤1，从而求出y的取值范围.变式　(1)函数y=lg sin x+的定义域为　.(2)函数y=的值域为　.【答案】(1)(2)∪[3，+∞)【解析】(1)由2kπx≤+2kπ，k∈Z.(2)方法一：易得y==1+.因为-1≤cosx≤1，所以y≤或y≥3，故函数的值域为∪[3，+∞).方法二：由题意得cosx=.因为-1≤cosx≤1，所以-1≤≤1，解得y≤或y≥3，所以函数的值域为∪[3，+∞).例2　求函数y=sin x+cos x+sin xcos x的值域.【思维引导】注意到sin x+cos x与sin xcos x两者之间的关系，可设sin x+cos x=t，则有sin xcos x=，从而得到关于t的二次函数，注意变量t的取值范围.【解答】设sin x+cos x=t，-≤t≤，且sin xcos x=，所以y=+t==，所以当t=-1时，ymin=-1；当t=时，ymax=+.故所求函数的值域为.【精要点评】求三角函数值域的常用方法有：(1)将函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，然后根据定义域求出值域即可；(2)采用反函数法，利用sin x和cos x的有界性求值域；(3)采用换元法，转化为代数函数求解，但应特别注意所换新元的范围.变式　函数y=cos 2x+2sin x的最大值和最小值分别是　.【答案】，1【解析】由题知y=-2+，因为≤x≤，所以≤sin x≤1，所以当sin x=时，ymax=；当sin x=1时，ymin=1.　三角函数性质的综合应用例3　已知向量a=，b=(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调增区间；(3)求函数f(x)在上的最大值和最小值.【思维引导】先将向量关系转化为三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)，然后再求解.【解答】(1)f(x)=a·b=cosx·sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin，所以f(x)的最小正周期T==π. (2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，则-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，即-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调增区间为(k∈Z).(3)当x∈时，∈，当x=0时，f(x)取得最小值f(0)=-；当x=时，f(x)取