数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第28课　正弦定理与解三角形Word版含解析.docxVIP

第28课　正弦定理与解三角形【自主学习】第28课 正弦定理与解三角形(本课时对应学生用书第75~77页)自主学习　回归教材1. (必修5P7例1改编)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2bsin A，则角B=　.【答案】【解析】由正弦定理，可得sin A=2sin Bsin A，sin B=.由B为锐角，得B=.2. (必修5P8练习1改编)在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，那么AC=　.【答案】4【解析】利用正弦定理=，得AC=4. 3. (必修5P11习题6改编)在△ABC中，若a=2，b=3，C=，则△ABC的面积为　.【答案】【解析】S△ABC=absin C=×2×3×=.4. (必修5P7例2改编)在△ABC中，若a=4，c=4，C=30°，则角A=　.【答案】60°或120°【解析】由正弦定理=，得sin A===，所以角A=60°或120°.5. (必修5P10练习5改编)在△ABC中，若A=60°，a=，则=　.【答案】2【解析】由正弦定理==2R，得=2R==2.1. 利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理：===2R(其中R为△ABC的外接圆的半径，下同). 变式：(1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C；?(2)sin A=，sin B=，sin C=；(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C；?(4)===(合比性质).2. 利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.如：已知a，b和A，用正弦定理求B时解的情况如下：①若A为锐角，则absin A　无解a=bsin A　一解bsin Aab　两解a≥b　一解②若A为直角或钝角，则a≤b　无解　ab　一解3. 由正弦定理，可得三角形面积公式：S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==r(a+b+c)(r为内切圆半径).?4. 三角形内角定理的变形：由A+B+C=π，知A=π-(B+C)，可得出：sin A=sin(B+C)，cos A=-cos(B+C). 而=-，有sin=cos，cos=sin. 【要点导学】要点导学　各个击破　利用正弦定理判断三角形的形状例1　在△ABC中，已知b=asin C，c=asin B，试判断△ABC的形状.【思维引导】减少角或边的个数，本题可减少边a；边角化为同一形式，如题中可把边化为角；高次可降次，如题中的单角化为倍角等.【解答】由b=asin C，c=asin B，得=.由正弦定理得==，所以sin2B=sin2C，所以=，所以cos 2B=cos 2C.又B，C是三角形的内角，所以2B=2C，所以B=C.由b=asin C，得sin B=sin A·sin C，所以sin A=1，所以A=，所以△ABC是等腰直角三角形.【精要点评】三角形形状的判断方向主要有等腰、等边、直角、锐角、钝角三角形等；主要的判断方法是借助三角函数中的各个定理及运算公式，考查边角的等量关系等.变式　在△ABC中，已知a=2bcos C，求证：△ABC为等腰三角形. 【解答】因为a=2bcos C，所以由正弦定理，得2Rsin A=4Rsin Bcos C，所以2cos Csin B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C， 所以sin Bcos C-cos Bsin C=0，即sin(B-C)=0，所以B-C=kπ(k∈Z). 又B，C是三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形. 　利用正弦定理解三角形例2　在△ABC中，根据下列条件解三角形： (1)c=，A=45°，a=2；(2)c=，A=45°，a=2；(3)c=3，A=45°，a=2. 【思维引导】三小题均属于“已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，要先求sin C.【解答】(1)因为c=，A=45°，a=2，所以由=，得sin C=，所以C=60°或C=120°.当C=60°时，B=75°，b===+1；当C=120°时，B=15°，b===-1. (2)同(1)可得sin C=，所以C=30°或C=150°.又因为C+A180°，所以C=150°不符合要求， 所以C=30°，B=105°，b===+1. (3)同(1)可得sin C=. 因为1，所以此三角形无解. 【精要点评】解三角形问题首先要判断是否会出现多解