数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第22课　两角和与差的三角函数Word版含解析.docxVIP

第22课　两角和与差的三角函数【自主学习】第22课 两角和与差的三角函数(本课时对应学生用书第57~59页)自主学习　回归教材1. (必修4P115练习1改编)已知tan α=4，tan β=3，那么tan(α+β)=　.【答案】-【解析】由题意得tan(α+β)===-.2. (必修4P109习题4改编)计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°=　.【答案】【解析】原式=sin 75°cos 30°-cos 75°sin 30°=sin(75°-30°)=sin 45°=.3. (必修4P108例1改编)已知sinα=，α∈，cosβ=-，β∈，那么sin(α+β)=　.【答案】【解析】由sin α=，α∈，得cos α=-=-.由cos β=-，β∈，得sin β=-=-，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.4. (必修4P118习题5改编)已知tan=，tan=，那么tan(α+β)=　.【答案】1【解析】tan(α+β)=tan===1.5. (必修4P131第8题改编)计算：=　.【答案】2-【解析】sin 7°=sin(15°-8°)=sin 15°cos 8°-cos 15°sin 8°，cos 7°=cos(15°-8°)=cos 15°cos 8°+sin 15°sin 8°，所以原式=tan 15°=tan(45°-30°)==2-.1. 两角和(差)的三角函数公式(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β；(2)cos(α±β)=cos αcos βsin αsin β；(3)tan(α±β)= .2. 注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中φ满足3. 注意几种常见的角的变换(1)α=(α+β)-β=(α-β)+β；(2)2α=(α+β)+(α-β)；(3)2α=(α+β)-(β-α)；(4)2α+β=α+(α+β).【要点导学】要点导学　各个击破　利用两角和(差)公式进行化简、求值例1　已知sin α=，cos β=-，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.【解答】因为sin α=，α为第二象限角，所以cos α=-.又因为cos β=-，β为第二象限角，所以sin β=，所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=.　目标角与已知角之间的变换例2　已知α，β均为锐角，且sin α=，tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值；(2)求cos β的值.【解答】(1)因为α，β∈，所以-α-β，又tan(α-β)=-0，所以-α-β0，所以sin(α-β)=-.(2)由(1)可得cos(α-β)=.因为α为锐角，sin α=，所以cos α=，所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.变式　已知α，β均为锐角，且sin α=，cos(α+β)=-，求sin β的值.【解答】因为sin α=，α为锐角，所以cos α=，又α，β均为锐角，cos(α+β)=-，所以0α+βπ，所以sin(α+β)=，所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.例3　化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)]=　.【答案】1【解析】因为tan[(18°-x)+(12°+x)]==tan 30°=，所以tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]，于是原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+×[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.变式　在非直角三角形ABC中， 若角A，B，C成等差数列，且tan Atan C=2+，求tan A的值.【思维引导】先确定角B的大小，再由角B的正切值构造tan A与tan C的一个方程，联立条件tan Atan C=2+，即可求得tan A的值.【解答】因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C.又因为A+B+C=π，所以B=，A+C=，所以tan A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C)=-×[1-(2+)]=3+.又tan Atan C=2+，所以tan A=1或tan A=2+.【精要点评】注意公式的变形使用：tan α±tan β=tan(α±β)(1tan αtan β).　利用和与差的三角函数公式求值微课5● 典型示例例4　已知α，β，γ均为锐角，且tan α=4，tan β=，tan γ=，求α+β+γ的值.【思维导图