数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第15课　导数的概念及运算Word版含解析.docxVIP

第15课　导数的概念及运算【自主学习】第15课 导数的概念及运算(本课时对应学生用书第37~39页)自主学习　回归教材1. (选修1-1P57例4改编)函数f(x)=-2x+10在区间[-3，-1]内的平均变化率为　.【答案】-2【解析】==-2.2. (选修2-2P14练习2改编)若函数f(x)=，则f(1)=　.【答案】【解析】因为f(x)=，所以f(1)=×=.3. (选修2-2P12练习2改编)一个物体的运动方程为s=1-t+t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是　m/s.【答案】5【解析】s(t)=2t-1，s(3)=2×3-1=5.4. (选修2-2P20练习2改编)已知函数f(x)=sin x+cos x，x∈(0，2π).若f(x0)=0，则x0=　.【答案】或【解析】f(x)=cos x-sin x，因为f(x0)=0，则f(x0)=cos x0-sin x0=0，所以x0=或.5. (选修2-2P26习题8改编)已知函数f(x)=，则f(x)的导函数f(x)=　.【答案】【解析】因为f(x)=，所以由导数运算法则得f(x)==.1. 函数的平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.2. 导数的概念设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值=无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0).若函数y=f(x)在开区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f(x).3. 导数的几何意义(1)设s=s(t)是位移函数，则s(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时速度.(2)设v=v(t)是速度函数，则v(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时加速度.4. 基本初等函数求导公式(1)(xα)=α(α为常数)；(2)(ax)=axln a(a0且a≠1)，(ex)=ex；(3)(logax)=(a0且a≠1)，(ln x)=；(4)(sin x)=cos x，(cos x)=-sin x.5. 导数的四则运算法则(1)=f(x)±g(x)；(2)[f(x)·g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)；(3)=cf(x)(c为常数)；(4)=(g(x)≠0).6.复合函数求导的运算法则一般地，设函数u=φ(x)在点x处有导数ux=φ(x)，函数y=f(u)在u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数，且yx=yu·ux.【要点导学】要点导学　各个击破　利用定义求导数例1　利用导数的定义解答下列问题.(1)求f(x)=在x=1处的导数；(2)求f(x)=的导数.【思维引导】由导数的定义可知，函数y=f(x)在x处的导数是函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)与自变量的增量Δx之比在Δx→0时的无限趋近值.【解答】(1)因为=====，所以当Δx→0时，→-，所以f(1)=-.(2)因为====，所以当Δx→0时，→-，所以f(x)=-.【精要点评】(1)根据概念求函数的导数是求导的基本方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趋零”的求导步骤；(2)要注意区分函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将数值代入.变式　设函数f(x)在x=x0处可导.(1)若当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，求f(x0)的值；(2)若当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，求f(x0)的值.【解答】(1)=·，当Δx→0时，上式→，故f(x0)=.(2)=-·，当Δx→0时，上式→-，故f(x0)=-.　求导公式的应用例2　(1)函数f(x)=-cos x在x=时的导数值为　；(2)函数y=x3-2x的导数为　；(3)函数y=sin x-2ex的导数为　.【思维引导】(1)注意到-cos x的导数是sin x，再将x=的值代入即可；(2)函数和与差的导数等于导数的和与差.(3)ex的导数仍然是ex.【答案】 (1)　(2)y=3x2-2　(3)y=cos x-2ex【解析】 (1)f(x)=sin x，当x=时，f=.【精要点评】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.变式　(1)函数y=+的导数为　 ；(2)函数y=x的导数为　 .【答案】 (1)y=　(2)y=3x2-【解析】(1)因为y=+=，所以y==.(2)因为y=x3+1+，所以y=3x2-.　导数物理意义的应用例3　神舟飞船发射后的一段时间内，第t