数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第16课　曲线的切线Word版含解析.docxVIP

第16课　曲线的切线【自主学习】第16课 曲线的切线(本课时对应学生用书第39~42页)自主学习　回归教材1. (选修2-2P26习题5改编)曲线y=x-cos x在x=处的切线方程为　.【答案】x-y--=0【解析】设f(x)=x-cos x，则f=+sin =1，故切线方程为y-=x-，化简可得x-y--=0.2. (选修2-2P22例3改编)已知曲线f(x)=xsin x+1在点处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，那么实数a的值为　.【答案】-1【解析】f(x)=sin x+xcos x，当x=时， f(x)=1，所以a=-1.3. (选修2-2P20练习7改编)若直线y=x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线，则实数b的值为　.【答案】ln 2-1【解析】设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率k==，所以x0=2.又因为切点(2，ln 2)在切线y=x+b上，所以b=ln 2-1.4. (选修2-2P16习题3改编)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为　.【答案】4【解析】因为曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，所以g(1)=2.又f(x)=g(x)+2x，所以f(1)=g(1)+2=4，故切线的斜率为4.1. 导数的几何意义导数f(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k=f(x0)，相应地，切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).2. 解与曲线的切线有关的问题的一般步骤：第一步，设出切点坐标(x0，y0)；第二步，计算切线的斜率为k=f(x0)；第三步，写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0)；第四步，将问题转化为函数与方程问题求解.【要点导学】要点导学　各个击破　过曲线上点的切线方程例1　已知曲线S：y=-x3+x2+4x及点P(0，0)，求过点P的曲线S的切线方程.【思维引导】本题考查导数的几何意义和导数的运算，这类题比较常见.本题要注意点与曲线的位置关系.【解答】设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k=y=-2+2x0+4，又当x0≠0时，kPQ=，所以-2+2x0+4=.　①因为点Q在曲线S上，所以y0=-++4x0.　②将②代入①得-2+2x0+4=，化简，得-=0，所以x0=，则k=，过点P的切线方程为y=x.当x0=0时，则k=4，过点P的切线方程为y=4x，所以过点P的曲线S的切线方程为y=4x或y=x.【精要点评】曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P.变式　已知曲线f(x)=x3+.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.【思维引导】曲线y=f(x)“过点P”与“在点P处”的切线是不相同的，在点P处的切线是以P为切点；过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点的坐标.【解答】(1)因为f(x)=x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k=f(2)=4，所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线f(x)=x3+与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率k=f(x0)=，所以切线方程为y--=(x-x0)，即y=x-+.因为点P(2，4)在切线上，所以4=2-+，即-3+4=0，所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=2或-1，故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.【精要点评】解决此类问题，一定要分清楚是“在某点”还是“过某点”处的切线.在某点处的切线比较好求，过某点处的切线，一般要设出切线坐标，然后通过解方程的方法解出该切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.　过某点的曲线的切线方程例2　已知函数f(x)=xln x，过点A作函数y=f(x)图象的切线，则切线的方程为　.【思维引导】点A不在曲线y=f(x)上，故先设切点，利用切线过点A，建立方程确定切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.【答案】x+y+=0【解析】设切点为T(x0，y0)，则kAT=f(x0)，所以=ln x0+1，即e2x0+ln x0+1=0.设h(x)=e2x+ln x+1，则h(x)=e2+，当x0时，h(x)0，所以h(x)在(0，+∞)上是单调增函数，所以h(x)=0最多只有一个根.又h=e2×+ln +1=0，所以x0=.由f(x0)=-1得切线方程是x+y+=0.【精要点评】对于曲线的切线问题，一定要注意题目所给的条件；当已知切点位置时，可以直接求导