概率论与数理统计课件(第2章).docVIP

第2章 随机变量及其分布 为了更深刻地揭示随机现象的统计规律性，有必要将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来，可以凭借更多的数学工具研究随机试验的结果，因此需要引入随机变量的概念. 2.1 随机变量及其分布函数 2.1.1 随机变量的概念 定义2.1 设是随机试验，是其样本空间. 如果对每个，总有一个实值函数与之对应，则称上的实值函数为的一个随机变量. 随机变量常用大写字母等表示，其取值用小写字母等表示. 若一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量. 若一个随机变量取值充满数轴上的一个区间，则称其为连续随机变量，其中可以是,可以是. 通过以下几个例子，可以很好地理解上述随机变量抽象的定义. 掷一颗骰子,出现的点数. 单位时间内某手机被呼叫的次数. （3）某品种杨树的寿命. （4）测量某物理量的误差. （5）若某个试验只有两个结果，例如，播种一颗银杏种子，可以定义随机变量 . 值得注意的是：（1）对任意实数，表示随机事件；（2）可以求出概率. 在上面的例子中，, 等；但是不能求得以下概率，如,,等，因此还需要引入随机变量分布函数的概念. 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.2 设是一个随机变量,对任意实数,称 （2.1） 为随机变量的分布函数.且称服从，记为.有时也可用（把作为的下标）以表明是的分布函数. 例2.1 向半径为的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离的分布函数,并求. 解 事件“”表示所抛之点落在半径为的圆内,故由几何概率知 ， 从而 . 从分布函数的定义可以看出,任一随机变量（离散的或连续的）都有一个分布函数.有了分布函数,就可据此计算得与随机变量有关事件的概率.下面先给出分布函数的3个基本性质. 定理2.1 任一 （1）单调性 是定义在整个实数轴上的单调非减函数，即对任意的，有. （2）有界性 对任意的，有，且 ，. （3）右连续性 是的右连续函数，即对任意的，有 . 值得注意，满足这3个性质的函数一定是某个随机变量的分布函数. 例2.2 设随机变量的分布函数为 ， 试求：⑴待定系数；⑵随机变量落在（-1，1），，?可得 ， 解得 ，于是 . ⑵ . 利用随机变量的分布函数，可以计算有关的各种事件的概率.例如，对任意的实数，有 ， ， ， ， ， ， . 特别当在与连续时，有 ，. 例2.3 设随机变量的分布函数为 ， 试求：（1）；（2）；（3）. 解 （1）； （2）； （3）. §2.2 离散型随机变量的分布律 定义2.3 设是一个离散型随机变量，其所有可能的取值是，则称取的概率 （2.2） 为的概率分布律或简称为分布律，记为，分布律也可用列表的方法来表示： 或记成 分布律的基本性质： （1）； （2）. 由离散型随机变量的分布律很容易写出的分布函数： . 它的图形是有限级（或无穷级）的阶梯函数.在离散场合，常用分布律来描述分布，很少用到分布函数.因为求离散随机变量的有关事件的概率时，用分布律比用分布函数来得更方便. 例2.4 设离散型随机变量的分布律为 2 3 试求，并写出的分布函数. 解 ， ， . 的图形如图2—1所示. 特别地,常量可看作仅取一个值的随机变量，即 . 这个分布常称为单点分布或退化分布，它的分布函数是 . （2.3） 其图形如图2—2. 以下例子说明，已知离散型随机变量的分布函数，可以求出它的分布律. 例2．5 设随机变量的分布函数为 ， 则的分布律为 2 3 5 0.1 0.4 0.3 0.2 2.3 常见离散型随机变量分布 1.两点分布 若离散型随机变量的分布律为 则称随机变量服从参数为的两点分布（或分布），记为. 例2.6 播种一颗银杏种子，银杏的发芽率为0.9，定义随机变量