金融数学课件--(2-1)等额年金.pptVIP

* 4、延期年金（deferred annuity） 延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。 推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个m＋n期期末付年金扣除一个m期的年金。 延期年金现值为 * 例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。 * 年金的现值等于 也等于 * 此年金在第12期的积累值等于 也等于 * 5、永续年金（Perpetuity） 永续年金：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。 记号 表示期末付永续年金的现值。 永续年金可看作将本金 按利率 i 投资，每期支付利息 ，本金持续进行投资。 * 记号 ——表示期初付永续年金的现值。 * n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差： 第一个是每年末付款1，现值为 ； 第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值为 ，因此 n 年的期末付年金的现值等于 （参见下图） * 现金流时间图 * 年金公式比较 年金 定期年金 永续年金 现值 积累值 期末付 期初付 * 例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7％，确定三个受益者的相对受益比例。 * 解：10万元每年产生的利息是7000元。 A所占的份额是 B所占的份额是 C所占的份额是 * 从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49％，25％和26％。 注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于 * 6、可变利率年金 问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， 分别表示第1，2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？ 0 1 2 n-1 n i1 i2 in * 例：第一年初的1元，计算它在第二年末的终值时，它在第2年的利率按什么计算？ 以它投资时的利率i1计算 以第二年的利率i2计算 0 1 2 i1 i2 1 ? * 期末付年金的现值 解决途径：1、每笔款项以经历时期的利率计算 0 1 2 n-1 n i1 i2 in 1 1 1 1 * 期初付年金的现值 0 1 2 n-1 n i1 i2 in 1 1 1 1 * 期末付年金的累积值 0 1 2 n-1 n i1 i2 in 1 1 1 1 * 期初付年金的累积值（请大家写出） 0 1 2 n-1 n i1 i2 in 1 1 1 1 * 2、每笔款项都以其支付时的利率 ik 计算（了解） 期末付年金的现值 期末付年金的累积值 0 1 2 n-1 n i1 i2 in 1 1 1 1 * 期初付年金的现值 期初付年金的累积值 0 1 2 n-1 n i1 i2 in 1 1 1 1 * 注： 1、在可变利率条件下，下式仍然成立（请验证）： 2、在实践中，利率常常是几个时期才改变一次。此时，可以利用基本年金的公式。 * 年金 基本年金 永续年金的现值 现值 累积值 期末付 期初付 小结 * Excel 应用 * 3 某人每年年初存进银行1000元，前4年的年实际利率为6%，后6年由于通货膨胀率，年实际利率升到10%，计算第10年年末时存款的累积值。 0 4 10 1000 1000 6% 10% 1000 accumulated value 1000 * 等额年金(I)（Level Annuity） 孟生旺 中国人民大学统计学院 * 年金（annuity） 最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。 现在的含义：一系列的付款（或收款）。 * 年金的类型 按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。 按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。 按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金（annuity-due）和期末