概率论与数理统计课件(第1章).docVIP

第1章 随机事件与概率 概率论与数理统计是概率论随机现象出现的可能性大小做出数量上的描述形成一整套数学理论和方法数理统计是概率论为研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定结论的科学和艺术概率论与数理统计的理论与方法已广泛应用于农业工、中 §1.1 随机现象及其统计规律性 客观世界的各种现象大体可分为两类： 一类称为决定性现象，即在一定的条件下，只出现一个结果.例如，在标准大气压下，水升温至100摄氏度时沸腾；每天清晨，太阳总从东方升起；向空中抛一物体必然下落等. 另一类称为非决定性现象，即在一定的条件下，并不总是出现相同结果，在概率论中称为随机现象. 比如，播种一粒银杏种子，可能发芽可能不发芽；掷一颗骰子，可能出现1至6点等. 该类现象有以下两个特点： ①结果不止一个； ②人们事先不能确定出现的结果. 随机现象是概率论与数理统计的研究对象. 1.1.1 随机试验 对随机现象进行的试验和观察称为随机试验. 例1．1 随机现象的例子 （1）播种一粒银杏种子，观察银杏种子发芽； （2）掷一颗骰子，观察出现的点数； （3）单位时间内，某手机被呼叫的次数； （4）某种型号冰箱的使用寿命； （5）测量课本的长度，观测其误差. 在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验称为试验.在概率论中，将满足下述条件的试验称为随机试验： （1）试验在相同条件下是可以重复进行的； （2）试验的结果不至一个，但全部可能结果事先是知道的； （3）每一次试验都会出现上述全部可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事先无法预知. 1.1.2随机现象的统计规律性 对一个随机试验来说，每次试验结果具有不确定性，规律性不强，但大量重复性试验的结果就存在一定的规律性. 例如，若抛掷一枚均匀硬币，一次抛掷，出现正面还是出现反面很难确定，但重复大量次抛掷，出现正面次数占抛掷总次数的1/2. 历史上有许多科学家做过抛掷硬币的试验. 抛掷均匀硬币，其结果见表1—1. 表1—1 历史上抛掷硬币试验 实验者 抛硬币次数 出现正面次数 出现正面次数/抛硬币次数 D. Mogen 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 Feller 10000 4979 0.4979 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 可以看出,试验中出现正面次数与抛硬币次数的比值,当试验次数较小时,随机波动较大；当试验次数较大时,随机波动较小. 随着试验次数的增大, 出现正面次数与抛硬币次数的比值逐渐稳定于固定值0.5，1.2 随机事件及其关系 1.2.1样本空间与随机事件 1. 样本空间 随机现象一切可能的基本结果组成的集合称为样本空间，用表示，其中表示基本结果，又称为样本点. 例1.2 给出例1.1中随机现象的样本空间： (1) 播种一粒银杏种子的样本空间： ，其中表示银杏种子发芽，表示银杏种子不发芽. (2) 掷一颗骰子的样本空间： ，其中表示出现点，.也可更直接地记此样本空间为：. (3) 单位时间内某手机被呼叫的次数的样本空间： . (4)某种型号冰箱使用寿命的样本空间： . (5) 测量课本的长度，测量误差的样本空间： . 2. 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，一般用大写字母表示. 例如，掷一颗骰子，“出现奇数点”是一个事件，即. 关于事件的定义，有以下几个说明. （1）任一事件是样本空间的子集.在概率论中我们可用维恩（Venn）图表示（见图1—1）. （2）当中某个样本点出现了，就说事件发生了. （3）事件既可以用语言描述，也可以用集合表示. （4）由样本空间中的单个元素组成的子集称为基本事件. 样本空间的最大子集，即其本身称为必然事件，记作. 样本空间的子集之一，空集称为不可能事件，记作. 例1.3 掷一颗骰子的样本空间为：. 事件“出现2点”，即，它是一个基本事件. 事件“出现的点数不超过6”，即，它就是必然事件. 事件“出现的点数小于1”，即，它就是不可能事件. 1.2.2 事件的关系及运算 假设以下讨论是在同一个样本空间中进行的. 1.事件间的关系 1）包含关系 如果中的样本点都是中的样本点，则称包含于（见图1—2），或称包含，也称为的子事件，记为或. 用概率论语言描述为：事件发生必然导致事件发生. 例如，冰箱的使用寿命超过30000h，记为事件，使用寿命超过35000h，记为事件，则. 对任一事件，必有. 2） 如果事件与事件满足：中的样本点都是