概率论与数理统计第二章随机变量课件.docVIP

第二章 随机变量 第一节 随机变量及其分布函数 上一章中我们讨论的随机事件中有些是直接用数量来标识的，例如，抽样检验灯泡质量试验中灯泡的寿命；而有些则不是直接用数量来标识的，如性别抽查试验中所抽到的性别.为了更深入地研究各种与随机现象有关的理论和应用问题，我们有必要将样本空间的元素与实数对应起来.即将随机试验的每个可能的结果e都用一个实数X来表示.例如，在性别抽查试验中用实数“1”表示“出现男性”，用“0”表示“出现女性”.显然，一般来讲此处的实数X值将随e的不同而变化，它的值因e的随机性而具有随机性，我们称这种取值具有随机性的变量为随机变量. 定义2.1 设随机试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每一个元素e，有一个实数X（e）与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数X=X（e），称之为随机变量（Random variable）. 随机变量的取值随试验结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，只有在试验之后才知道它的确切值；而试验的各个结果出现有一定的概率，故随机变量取各值有一定的概率.这些性质显示了随机变量与普通函数之间有着本质的差异.再者，普通函数是定义在实数集或实数集的一个子集上的，而随机变量是定义在样本空间上的（样本空间的元素不一定是实数），这也是二者的差别. 本书中，我们一般以大写字母如X，Y，Z，W，…表示随机变量，而以小写字母如x,y,z,w，…表示实数. 为了研究随机变量的概率规律，并由于随机变量X的可能取值不一定能逐个列出，因此我们在一般情况下需研究随机变量落在某区间（x1，x2］中的概率，即求P{x1＜X≤x2}，但由于P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}，由此可见要研究P{x1＜X≤x2}就归结为研究形如P{X≤x}的概率问题了.不难看出，P{X≤x}的值常随不同的x而变化，它是x的函数，我们称这函数为分布函数. 定义2.2 设X是随机变量，x为任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 称为X的分布函数（Distribution function）. 对于任意实数x1,x2(x1x2)，有 P{x1X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1} =F(x2)-F(x1)， （2.1） 因此，若已知X的分布函数，我们就能知道X落在任一区间（x1,x2]上的概率.在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性. 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F（x）在x处的函数值就表示X落在区间（-∞,x]上的概率. 分布函数具有如下基本性质： 1°F(x)为单调不减的函数. 事实上，由（2.1）式，对于任意实数x1,x2（x1x2），有 F（x2）-F(x1)=P{x1X≤x2}≥0. 2°0≤F(x)≤1，且=1,常记为F（+∞）=1. =0，常记为F（-∞）=0. 我们从几何上说明这两个式子.当区间端点x沿数轴无限向左移动（x→-∞）时，则“X落在x左边”这一事件趋于不可能事件，故其概率P{X≤x}=F(x)趋于0；又若x无限向右移动（x→+∞）时，事件“X落在x左边”趋于必然事件，从而其概率P{X≤x}=F(x)趋于1. 3°F(x+0)=F(x)，即F（x）为右连续. 证略. 反过来可以证明，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数. 概率论主要是利用随机变量来描述和研究随机现象，而利用分布函数就能很好地表示各事件的概率.例如，P{X＞a}=1-P{X≤a}=1-F(a),P{X＜a}=F(a-0),P{X=a}=F(a)-F(a-0）等等.在引进了随机变量和分布函数后我们就能利用高等数学的许多结果和方法来研究各种随机现象了，它们是概率论的两个重要而基本的概念.下面我们从离散和连续两种类别来更深入地研究随机变量及其分布函数，另有一种奇异型随机变量超出本书范围，就不作介绍了. 第二节离散型随机变量及其分布 如果随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称这种随机变量为离散型随机变量. 容易知道，要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，必须且只须知道X的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率. 设离散型随机变量X所有可能的取值为xk(k=1,2,…),X取各个可能值的概率,即事件{X=xk}的概率 P{X=xk}=pk, k=1,2,… （2.2） 我们称（2.2）式为离散型随机变量X的概率分布或分布律.分布律也常用表格来表示（表2-1）： 表2-1 X x1 x2 x3 … xk … pk p1 p2 p3 … pk … 由概率的性质容易推得，任一离散型随机变量