南开区高三数学第二次模拟考试卷 文.docVIP

天津南开区2013届高三模拟考数学（文科）试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合，集合，集合，则为 A. B. C. D. 2. 不等式的解集是 A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，则函数的大致图象为 4. 函数的零点所在区间为 A. B. C. D. 5. 等差数列的公差，且，则该数列的前项和取得最大值时， A. 6 B. 7 C. 6或7 D. 7或8 6. 已知正整数满足，使得取最小值时，则实数对是 A. （5，10） B. （6，6） C. （10，5） D. （7，2） 7. 设等比数列的前项和为，若，则 A. 2：3 B. 3：4 C. 1：2 D. 1：3 8. 如果，那么下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 函数定义域为R，则的取值范围是__________。 10. 若函数满足，且时，，则函数的图象与函数图象的交点个数为__________。 11. 幂函数的图象经过点，则满足的的值是__________。 12. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，对A、B都不赞成的学生有__________。 13. 已知数列满足，，则的最小值为__________ 14. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数的定义域为R，值域为； ②函数的图关于直线对称； ③函数是周期函数，最小正周期为1； ④函数在上是增函数。 其中正确的命题的序号是__________。 三、解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. ，，，若，，求、。 16. 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）。 （1）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求的取值范围。 17. 已知，函数，，。 （I）当时，求函数在点（1，）的切线方程； （II）求函数在的极值； （III）若在区间上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围。 18. 数列的前项和为，，，数列满足 （1）求 （2），求 （3）求证：。 19. 设函数，（是实数，是自然对数的底）。 （I）若直线与函数的图象相切于点（1，0），并且与函数的图象也相切，求的值； （II）若函数在它的定义域内是单调函数，求的取值范围。 20. 数列满足，（）。 （1）设，求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求出并由此证明：。 参考答案： 一、选择题： ADCC CABA 二、填空题： （0，） 4 8 ①②③ 三、解答题 15. 解：，， ∴ 由已知： ∴ 16. 解：（1）∵的解集为（1，3） ∴，且， 因而① 由方程得② 因为方程②有两个相等的根，所以 即，解得或。 由于，舍去 将代入①得的解析式为 （2）由 又0，可得的最大值为 由解得或 故当的最大值为正数时，实数的取值范围是 17. 解：由求导得，， （I）当时，， 所以在点（1，）的切线方程是 （II）令得： （1）当即时 （-1，0） 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 故的极大值是；极小值是； （2）当1即时 在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减， 所以的极大值为，无极小值。 （III）设 对求导，得， 因为，，所以， 在区间上为增函数，则。 依题意，只需，即， 即，解得（舍去）。 所以正实数的取值范围是。 18. 解：（1）因为，，所以， 所以为等差数列，因为：，所以 所以 由可得 所以：，由于，，所以 （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴（为奇数时，；为偶数时） （3） 19. 解：（I）由，则，直线的方程为： 由，得，即0， i）当时，方程无解； ii）当时，由，得，综上可得，。 （II）， i）若函数在它的定义域内是单调递增函数，由，对，即，，而函数在的值域为，所以，。 ii）若函数在它的