高中全程复习方略配套课件2.7幂函数.pptVIP

【例2】若点 在幂函数f(x)的图象上，点 在幂函数 g(x)的图象上，定义h(x)= 试求函数h(x)的最 大值以及单调区间. 【解题指南】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需 作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x) 在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求 最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值. 【规范解答】设幂函数为f(x)=xα，因为点 在f(x)的图象 上，所以 所以α=2，即f(x)=x2； 又设g(x)=xβ，点 在g(x)的图象上， 所以 ，所以β=－2， 即g(x)=x－2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象， 如图所示： 则有： 根据图象可知：函数的最大值等于1， 单调递增区间是(－∞，－1)和(0，1)， 单调递减区间是(－1，0)和(1，+∞). 【反思·感悟】解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解. 【变式训练】幂函数y=xm2-4m(m∈Z)的 图象如图所示，则m的值为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选C.∵y=xm2-4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点， ∴m2-4m0，即0m4， 又∵函数的图象关于y轴对称，且m∈Z， ∴m2-4m为偶数，因此m=2. 幂函数的性质与应用 【方法点睛】 1.比较幂值大小的类型及方法 (1)当幂的底数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较； (2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较； (3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大小，确定两幂值的大小关系； (4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系. 2.幂函数y=xα的性质 (1)定义域、值域及奇偶性,要视α的具体值而定. (2)当α＞0时，幂函数在(0，+∞)上是增函数，当α＜0时， 幂函数在(0，+∞)上是减函数. 【例3】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在 (0，+∞)上函数值随x的增大而减小，求满足 的a的取值范围. 【解题指南】利用幂函数的性质，构建出m的不等式，并求出m 的值，再根据其单调性，由关于a的已知不等式，构建a的不等 式，从而求出a的范围. 【规范解答】∵函数在(0，+∞)上递减， ∴3m-90，∴m3，∵m∈N*，∴m=1,2. 又∵函数的图象关于y轴对称，∴3m-9为偶数， 当m=1时,3m-9=-6为偶数， 当m=2时,3m-9=-3为奇数， ∴m=1,∴ 而y= 在(-∞,0)，(0，+∞)上均为减函数， ∴ 等价于 a+13-2a0或0a+13-2a或 a+103-2a， 解得a-1或 ∴a的取值范围是 【互动探究】若满足本例中条件的幂函数为f(x)，讨论函数 g(x)=a[f(x)]6- 的奇偶性(其中a,b∈R). 【解析】由本例的解析知f(x)= ∴ ∴g(x)= ,则 当a≠0,b≠0时，g(x)为非奇非偶函数； 当a=0,b≠0时，g(x)为奇函数； 当a≠0,b=0时，g(x)为偶函数； 当a=0,b=0时，g(x)既是奇函数又是偶函数. 【反思·感悟】1.有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 2.本例集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解答该类问题的关键是弄清幂函数的概念及性质，构建待求参数的方程或不等式并注意对参数的讨论，来求解问题. 【变式备选】1.已知函数f(x)= (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(-π)与 的大小. 学科网(ZXXK.COM ）-网校通名校系列资料上学科网，下精品资料！ * 学科网(ZXXK.COM ）-网校通名校系列资料上学科网，下精品资料！ * 学科网(ZXXK.COM ）-网校通名校系列资料上学科网，下精品资料！ * 学科网(ZXXK.COM ）-网校通名校系列资料上学科网，下精品资料！ * 第七节 幂 函 数 三年1考 高考指数:★ 1.了解幂函数的概念； 2.结合幂函