2010年山东省初中教师远程研修数学课程简报 第四期.docVIP

目录 专家引领 谈谈数学证明 马 复 1．数学证明的功能与特征 以一些基本概念和基本公设为基础，根据一些真实（假定）的命题，运用逻辑推理的规则和方法，确定某个数学命题的真实性。 数学证明的作用：确立了命题的真实性（也有证明错导致结论错、或只是证明错）；导致新的发现（七桥问题；圆桌上放棋子）增进理解（多边形外角和公式——利用内角和、运动的方式；等分图形面积问题——存在性证明与构造性证明；几何作图三大问题） 从历史上看，数学证明起始于古希腊（前6世纪）对几何定理的证明（确立了命题的真实性）；《几何原本》是标志性产物（整理知识、公理化的思想、数学证明的模式）。 2．证明与直观 数学命题难道不可以“看”出来吗？x2+y2≥0；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；三角形两条中线交于一点…… 确有无法“看出”的：三角形三条中线交于一点；所有周长一定的平面封闭图形中，什么图形的面积最大；今天是星期四，1010天以后是星期几？xn-1的因式分解（每个因式中“项”的系数都是1或-1？x105-1就有例外）…… 特别是到了无限的情形——自然数与整数个数；复数不可以比较大小；阶梯状的斜坡长度； 何况，直观也会欺骗我们：有两个三角形，第一个三角形的最短边比第二个三角形的最长边还要长，前者的面积一定不小于后者的面积；一个圆把平面分成两个部分，两个圆可以把平面分成四个部分，三个圆呢？四个圆呢？无数个正数相加，其和一定很大…… 3．学生的证明经验——生活中的证明 例证、流行或权威的观点、（实）验证、质疑。 4．数学证明学习的意义 理性精神、证明的必要性、证明的过程（四色定理——真的证明了？2次方程求根公式——验证还是寻求）、证明的基本方法（直接与间接等）（寻求反例——三角形的三边相等→三角相等，三角相等→三边相等，对n边形呢？4边形的情形：只有正方形——它有外接圆！考虑所有具有外接圆的n边形？一般地，“对内接于某个圆的n边形而言，其n个内角相等，则隔边相等，反之亦然。特别地，当n是奇数时，等角与等边是等价的； 5．数学证明学习的心理分析——认知水平与思维方式 具体对象与抽象关系——借助图形做直观猜测，非逻辑推演； 前提真实与假设合理——分析法、反证法等； 语义与形式——逻辑关系与形式表达。 即使是语言层面的，也有“形式”与“语义”的分别（语言是两者的统一）：“形式”是外部结构，其发展遵循：从局部到全局、从细节到整体；“语义”是内涵意义，其发展遵循：从全局到局部、从整体到细节，两者不易统一、同步。 语言也分为内部语言与外部语言——个体从事证明，首先是“思考关系”，这时，用的是内部语言（个人语言），它的作用是进行思考，产生思路，但形式上不规范，也许只有自己能懂（这样……，结果……，全等了），不一定能够被别人所理解（陈同学的例子）；需要交流时，则必须使用外部语言（社会语言），它的作用是用“线性”的形式，将前因后果梳理清楚，表达出来，并且能够被他人理解。 对学生而言，有时是“因为……， 所以……”的句式对了，但条件和结论却用反了，这属于“语义”滞后于“形式”，是知识理解与语言表述不同步；也可能相反，关系、意义清晰了，表述却丢三拉四——跳跃、前后颠倒等，这属于“形式”滞后于“语义”，也是知识理解与语言表述不同步（几何证明学习之初，多见此情景，特别是图形关系复杂一些的，并非思维混乱，而是思维与表达不同步，或者是“个人语言”向“社会语言”转换时出了问题）。 如果我们的教学一开始就要求“社会语言”，会造成学习上的困难，特别是这其中既有自然语言，又有数学语言（符号）。教学上可以采用“先‘个人语言’，后‘社会语言’的形式”——三种形式的设想。 采用三种形式的另一个原因——数学符号所产生的联想要远远大于自然语言（在数学性质方面），如：“一个数的平方与另一个数的两倍的和”与“+2b”。但是，在几何方面，符号语言的形成往往开始于“图形语言”，所以，可以先让学生用类似于“个人语言”的非规范“社会语言”（如图形表示全等），然后再用规范的“社会语言”（如△ABC≌△DEF）。 6．证明的教学——教学生如何构造证明与如何展开证明 证明：存在无限多个（4K+3）型质数。 证明：先证明（4K+1）型数的积仍然是（4K+1）型数（简单）. 反设命题不成立——只有有限个（4K+3）型质数：P1，P2，…Pn，令M=4P1P2…Pn-1。若某个Pi︱M，则Pi︱1，不可能。所以任何Pi︱M。但M不是偶数，所以M的所有质因数都是（4K+1）型质数，即M是（4K+1）型数，但M=4（P1P2…Pn-1）+3，矛盾！原命题成立。 框架与思路？证明步骤的意义与来源？（为什么要证明一个“引理”，为什么要构造M，为什么