有限元法第3章(免费阅读).pptVIP

对称阵，而且可以看成由4个子矩阵组成 可以得到各节点的位移 从而可以求出每根杆的受力 图3-13所示三杆桁架结构，节点1、节点3处固定，节点2处受力 ①、③杆长度为L，所有杆材料相同，弹性模量为E，截面积均为A，求各杆受力。 ① ③ ② 解：该系统中共有3个节点，每个节点的自由度为2，所以系统载荷和位移向量各包含6项： 已知条件： 单元① 单元② 单元③ 因此，各单元刚度矩阵在整体坐标系下可表示为 ① ③ ② 各杆件的内力， 图示所示桁架 试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元刚度矩阵 1-2杆：抗拉刚度 1-4杆：抗拉刚度 如图所示为三杆结构，设各杆 1-2和2-3杆长度均为1，1节点受到力P作用，力的大小 ① ③ ② 第四节 刚架系统结构的有限元法 一、虚位移原理推导梁单元的有限元格式 下面我们用七步来表述梁单元有限元格式的推导过程 第一步：写出单元的位移、节点力向量 位移向量和力向量表示为 第二步：选择适当的位移函数 这一多项式的系数个数应与单元自由度数目相同，即对节点的每一个自由度应含有一个未知系数，以使各点的位移可以用节点处的位移所唯一确定 因为整个单元具有四个自由度 而且只与x坐标有关 第三步：求单元中任一点的位移与节点位移的关系 用节点位移值来表示待定系数 在图中，梁单元两个节点的坐标是 在节点1： ， 在节点2： 单元上任一点的位移 形函数矩阵 第四步：求单元应变-单元位移-节点位移间的关系 几何矩阵。 第五步：求应力-应变-节点位移间的关系 对于梁的弯曲问题，由材料力学知识可知，应力-应变相当于内力矩与曲率关系， 近似表达式为 第六步：节点力与节点位移间的关系 一般情况下，系统各节点虚位移向量 而如果任一点处虚位移引起的虚应变为 由于推导过程中，我们未对单元形式做任何规定，这一结果是由虚位移原理得到的一般表达式。因此可适用于其他单元形式。 具体到梁单元，积分区域是一维的， 第七步：节点位移与应力的关系 可得到节点处的应力为 等效节点力是根据功互等原理，将分布载荷转移到节点上所得到的载荷，这样的变更，对全结构的计算不会带来明显的误差 二、等效节点力计算 必须等于等效节点载荷所做的功，由此可得到 (1)满跨度均布横向载荷q作用 (2)满跨度均布力偶M作用 (3)当距离1节点 处有集中力 (4)当集中力 作用在梁中点时 (5)当集中力偶M作用在梁中点时， (6)受到最大集度为 的三角载荷时， ① ③ ② 如图所示为三杆结构，设各杆 1-2和2-3杆长度均为1，1节点受到力P作用，力的大小 求系统刚度矩阵和1-3杆内力。 如图所示的等截面梁，弯曲刚度为 承受分布载荷作用，求 (1)各节点的等效节点载荷； (2)节点位移； (3)单元的节点力； (4)支座反力。 有限单元法简介 有限单元法简介 第二章 杆件结构的有限元法 当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得很多时，这类结构称为杆件。工程中常见的轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类钢等都属于杆件。根据杆的性形状可分为直杆和曲杆；根据截面尺寸和形状可分为等截面杆和变截面杆。 杆件结构可分为桁杆和梁两类。 由杆件组成的结构体系称为杆系。由桁杆组成的杆系称为桁架；由梁组成的杆系称为刚架。若杆系和作用力均位于同一平面内，则称为平面桁架或平面刚架，否则称为空间桁架或空间刚架。 为了研究杆系结构的有限元方法，我们从最简单的弹簧系统开始。 在弹簧系统中，弹簧受力与弹簧伸长量之间关系 当处理比较复杂的铰支杆系统时，如图3-1所示，要确定系统在力的F的作用下，节点B、C、D、E点的变形，以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力。求解时，可假设整个杆件系统也像弹簧一样的刚度，这样在力F作用下各点的位移就可以用类似的公式计算了。不过，这时的系统刚度应用一个矩阵来表示，即 各点的位移也应该采用一个矩阵来表示 再加上力矩阵 第二节 弹簧系统的刚度矩阵 一、单个弹簧的刚度矩阵 弹簧的作用力向量 位移向量为 刚度矩阵中的元素 是未知量。 为了求出刚度矩阵，将弹簧系统看成两个简单的系统， (1)只有节点1变形，节点2固定。如图3-3(a)所示。 (2)只有接点2变形，接点1固定，如图3-3(b)所示。 (3)根据线弹簧系统的叠加原理，叠加上述两种情形 作用在节点1上的合力 作用在节点2上的合力 从上式可以看出，这一刚度矩阵是对称的 另外，这一矩阵是奇异的，即它的行列式的值等于零。 二、组合弹簧的刚度矩阵 (1)先令 只允许节点1有位移 与 考虑弹簧1-2，由静力平衡条件有 节点3没有力作用，因此 只允许节点2有位移 (2)令