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弹性力学平面问题的有限元法 3. 单元的等效节点载荷向量 3. 单元的等效节点载荷向量 3. 单元的等效节点载荷向量 3. 单元的等效节点载荷向量 单元的等效节点载荷向量二 单元的等效节点载荷向量三 单元的等效节点载荷向量四 单元的等效节点载荷向量五 单元的等效节点载荷向量六 单元的等效节点载荷向量七 单元的等效节点载荷向量八 单元的等效节点载荷向量九 单元的等效节点载荷向量十 单元的等效节点载荷向量十 作业 3.6 整体平衡方程与整体刚度矩阵 用虚功原理建立整体平衡方程 设给整个结构施加一组虚位移，与之相应的整个结构的节点虚位移向量为 ，则每个单元的节点虚位移向量为： 应力在虚应变上的虚功 整体刚度矩阵的集成 方法：先求每个单元的单元刚度矩阵[k]e，然后将每个子块送到整体刚度矩阵的响应位置上，在某个位置上若有几个单元的响应子块送到，则进行叠加得到整体刚度矩阵的相应子块，从而形成整体刚度矩阵。 （整体刚度矩阵是全部单元刚度矩阵的贡献叠加的结果，在叠加之前，先令[k](0)=0，在第m个单元的刚度矩阵叠加到整体刚度矩阵中后的刚度矩阵用[k](m)来表示。） 例子： 分析：结构共有5个节点，三个单元，刚度矩阵为10X10阶矩阵，可分为5x5个2x2阶矩阵。令[k](0)=0， 处理单元1：单元1的局部编号与整体编号的对应关系。1-1，2-2，3-3 处理单元2：单元2的局部编号与整体编号的对应关系。1-2，2-4，3-3 处理单元3 全部单元处理完毕后， [k]=[k](3) 整体刚度矩阵的特点 1、对称性 2、稀疏性 相关节点，非相关节点 3、奇异性 4、带状分布 带状矩阵， 半带宽（d＝单元最大节点＋1）x2 整体刚度矩阵的存储 带状矩阵半带宽存储 作为一维数组的存储 变带宽一维存储，对角元指针 R(i)，S(i) 3.7整体节点载荷向量 步骤： 先求单元的三种力，然后根据单元的局部编号与整体编号的关系，放到整体节点载荷的相应位置。 节点载荷组装的注意事项 （1)多个单元共有节点上的节点载荷，只需要作用到一个单元上即可，一般作用到单元编号较小的单元上。 （2)受约束的支反力不需要考虑也没有办法考虑（因为是未知量）。 例：如图所示结构网络，考虑自重，写出整体节点载荷向量，设单元自重为W，为了概念清楚，把支反力写入｛fp｝，图中支反力为FRxI，FRyI。 约束条件的引入 例：设结构有n个节点，每个节点有一个自由度，约束条件为u1＝ua，un＝ub，其平衡方程为，其中[K]{δ}＝｛fp｝ （1）方程的矩阵的阶数不变 （2）修正刚度矩阵的方法是：将已知位移分量对应的行列元素修正，修正方法为主对角元素置1，其余为0，其他行列不变。 （3）修正载荷的规则：将已知位移分量设为已知，但要先设置载荷，后刚度矩阵。 例：已知结构有n个节点，每个节点有2个自由度，被约束的节点位移为u1＝1，v2＝b，vn＝c，写出被约束的刚度矩阵和载荷矩阵 约束引入的说明 （1）因引入位移约束条件修改｛Fp｝时，对应于约束自由度的载荷项均被修改成相应的规定位移，所以修正｛Fp｝不包括支反力，因此不能求约束方程求约束反力。 （2)对整体平衡方程，无论载荷是否包括支反力，得到的约束方程是完全相同等，因此载荷中是否包括支反力，都不影响位移的求解。 例：求上上题的支反力 3.9求解 3.10应力计算及结果整理 由于通过此方法的应力应变是通过形函数求导的[B]，即多项式的阶数降低，所以精度比位移的精度低。 表现在：单元内部不满足平衡方程；单元与单元的交界处应力一般不连续；在边界上应力解一般与力的边界条件不相符合。 处理方法：绕节点平均法； 两单元平均法； 外推法计算边界点应力。 较精密的平面单元 介绍矩形单元、六节点三角形单元，等参元 矩形单元的应力、应变、单元刚度矩阵 矩形单元的优缺点 是非常应力、非常应变单元，所以精度相比较三角形三节点单元精度要高。 在公共边上，应力仍有差异，但较小。 在边界节点处，除了浅梁的挤压应力外，一般无需从内应力推算。 缺点： 矩形单元不适合曲线边界和斜交边界，不便于采用大小不同的单元。 六节点三角形单元 线性三角形单元，二次（二阶）三角形单元 点的面积坐标 3.12等参元 等参元 Lagranger族矩形单元 Serendipity族矩形单元 过渡S族矩形单元 S族矩形单元 法1：由若干几何方程的乘积构造形函数，（划线法） （1)对于节点i，找出能覆盖其余节点的若干几何方程，在平面问题中，这些方程可以是直线，也可以是曲线。 （2)适当选用上述几何方程，以带参数的连乘作为形函数，使形函数其他节点处为0的条件自然满足。 （3)将i节点坐标代入几何方程连乘公式中，用本节点为1的性质确定待定参数。 （4)根