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数系的扩充与复数的概念 教学设计数系的扩充与复数的概念 教学设计 大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？ ?? 问题1：已知，求：（1）；（2）。 对于第二个问，学生可能出现下面几种方案得出结论， 方案一： 方案二： 方案三：通过可是 方案四： 你是怎么处理的，结论是什么？ 第二个问为什么没解出来？为什么存在着使的数，但是却求不出来，你是怎么想的呢？ 正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§5.1数系的扩充与复数的概念。 应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。 请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。 ??? 问题2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充， （1）回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。 （2）说明数集N,Z,Q,R的关系 （2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。 同学们说的非常好，数的这种发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学本身发展的需要。 数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的，如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义， 接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。 ??? 问题3：? 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中， (1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。 (2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。 ??? 运算 数集 加法 减法 乘法 除法 乘方 开方 正整数集 是 否 是 否 是 否 整数集 是 是 是 否 是 否 有理数集 是 是 是 是 是 否 实数集 是 是 是 是 是 否 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用， 同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。 通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。 问题4：现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决什么问题？ 怎么解决？你能具体说一说吗？ 同学们分析的很好，到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程在实数系中无解的问题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“实数”相对应．这是因为最开始研究这种新数是在16世纪，而那个时候人们没能发现什么事物可以支持这样的数。 如果引入虚数，负数可以开方了，那么就有意义了。我们希望，引入虚数后，原来在实数集中给出的运算规则仍能适用。例如，在引入虚数后，我们希望能把表示成的形式。实际上任何一个负数的平方根都可以表示成一个实数与的乘积的形式，因此，意大利数学家邦贝利提出可以把看作虚数单位。 负数、分数和无理数引入时，都相应的带来了一种新的记号，那么对于虚数，用一种什么样的记号来表示呢？ 现在我们规定：（1）；（2）。 使用来表示这个数，是伟大的数学家欧拉在1777年，双目失明以后凭借着超乎寻常的意志和毅力，仍然不放弃对科学问题的思索与追求的结果，从而让虚数有了一个特征性的记号。从此，也就不在使用表示虚数单位了，而是了。那么，这种表示方法既简洁又有特点。 问题5：不仅仅是虚数吧，你还能说出其他形式的虚数吗？那么通过运算，虚数可以用表示成什么形式呢？（讨论） 一．复数的定义 虚数与实数构成了一个新的数集，我们把这个新的数集叫做复数集，记作。这样我们就完成了数系的又一次扩充。我们把新的数系称作复数系。 该怎样用描述法表示集合呢？ 形如 的数，我们把它们叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部。 一个复数是由两部分组成的，如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然，即 问题6：实数与虚数组成了复数，那么这种形式，什么时候表示实数，什么时候表示虚数呢？ 二．例题 例题1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。 例题2．当取何实数时，复数是： （1）实数???? （2） 虚数?????? （3）纯虚数????? ?（4）零 结论： ???三．虚数引入的必要性 通过前面的研究，大家对虚数已经有了初步的认识，然而历史上引入虚数，可不是件容易的事，是许多数学家200多年的努力，才奠定了虚数在数学领域的地位。开始很多人都不承认虚数，就连科学家牛顿也不认为虚数有多少意义，他认为虚数的引入只是为了使不可解的问题，显得像是可以解的样子。 他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「 把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事