复变函数习题解答(第4章)..docVIP

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p178第四章习题(一)[ 3, 4, 6, 7(4), 10, 12, 13, 14 ] 3. 如果lim n?? (cn + 1/cn)存在( ? ? ),试证下列三个幂级数有相同的收敛半径: (1) ? n ? 0 cn z n;(2) ? n ? 0 (cn/(n + 1)) z n + 1;(3) ? n ? 0 (n cn) z n – 1. 【解】事实上,我们只要证明下面的命题: 若? n ? 0 cn z n的收敛半径为R,则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为R. 从这个命题,就可以得到幂级数(1)的收敛半径与幂级数(2)的收敛半径相同,幂级数(3)的收敛半径与幂级数(1)的收敛半径相同. step1. 当R是正实数或+?时.若| z | R,则存在r??使得| z | r R. 因? n ? 0 cn z n的收敛半径为R,根据收敛半径定义及Abel定理, 知? n ? 0 | cn r n |收敛. 因| (n cn) z n – 1 | = ( | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ) · | cn r n |; 而lim n?? ( | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ) = 0,故?M 0使得0 ? | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ? M. 所以| (n cn) z n – 1 | ? M · | cn r n |. 由Weierstrass判别法知? n ? 0 | (n cn) z n – 1 |收敛,所以? n ? 0 (n cn) z n – 1收敛. 因此? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径R1 ? R. 特别地,若? n ? 0 cn z n的收敛半径为+?,则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为+?. step2. 当R是非负实数时.对任意的满足R r | z |的实数r, 根据收敛半径定义,? n ? 0 cn r n发散.从而? n ? 0 | cn r n |发散. 当n r + 1时,| cn r n | = | r/n | · | (n cn) r n – 1 | ? | (n cn) r n – 1 |; 因此,? n ? 0 | (n cn) r n – 1 |发散. 由Abel定理,? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径R1 ? r. 由r的任意性,得R1 ? R. 特别地,若? n ? 0 cn z n的收敛半径为0,则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为0. step3. 综合step1和step2的结论,当R为正实数时,也有R1 = R. 即若? n ? 0 cn z n的收敛半径为R,则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为R. [这个证明中,我们没有用到条件lim n?? (cn + 1/cn)存在( ? ? ),说明该条件是可以去掉的.因为一般的幂级数并不一定满足这个条件,因此去掉这个条件来证明结论是有意义的.] 4. 设? n ? 0 cn z n的收敛半径为R (0 R +?),并且在收敛圆周上一点绝对收敛,试证明这个级数对所有的点z : | z | ? R为绝对收敛且一致收敛. 【解】设z0在收敛圆周上,且? n ? 0 | cn z0 n |绝对收敛. 那么对于点z : | z | ? R,都有| z | ? | z0 |. 因此级数? n ? 0 | cn z n |收敛,即? n ? 0 cn z n绝对收敛. 而由Weierstrass判别法知知级数? n ? 0 cn z n对所有的在闭圆| z | ? R上一致收敛. 6. 写出e z ln(1 + z)的幂级数展式至含z 5项为止,其中ln(1 + z)|z = 0 = 0. 【解】在割去射线L = { z?? | Im(z) = 0,Re(z) ? ?1}的z平面上,能分出Ln(1 + z)的无穷多个单值解析分支(Ln(1 + z))k = ln| (1 + z) | + i arg(1 + z) + 2k? i ,k??. 由条件ln(1 + z)|z = 0 = 0,知arg(1) + 2k? = 0,即k = 0. 所以,满足条件的分支为ln(1 + z) = ln| (1 + z) | + i arg(1 + z). 因为(ln(1 + z))’ = 1/(1 + z) = ? n ? 0 (?1)n z n,| z | 1. ?z : | z | 1,从沿0到z的曲线逐项积分得 ln(1 + z) ? ln(1 + z)|z = 0 = ? n ? 0 ((?1)n

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