复变函数习题解答(第4章)..docVIP

p178第四章习题(一)[ 3, 4, 6, 7(4), 10, 12, 13, 14 ] 3. 如果lim n?? (cn + 1/cn)存在( ? ? )，试证下列三个幂级数有相同的收敛半径： (1) ? n ? 0 cn z n；(2) ? n ? 0 (cn/(n + 1)) z n + 1；(3) ? n ? 0 (n cn) z n – 1． 【解】事实上，我们只要证明下面的命题： 若? n ? 0 cn z n的收敛半径为R，则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为R． 从这个命题，就可以得到幂级数(1)的收敛半径与幂级数(2)的收敛半径相同，幂级数(3)的收敛半径与幂级数(1)的收敛半径相同． step1. 当R是正实数或+?时．若| z | R，则存在r??使得| z | r R． 因? n ? 0 cn z n的收敛半径为R，根据收敛半径定义及Abel定理， 知? n ? 0 | cn r n |收敛． 因| (n cn) z n – 1 | = ( | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ) · | cn r n |； 而lim n?? ( | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ) = 0，故?M 0使得0 ? | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ? M． 所以| (n cn) z n – 1 | ? M · | cn r n |． 由Weierstrass判别法知? n ? 0 | (n cn) z n – 1 |收敛，所以? n ? 0 (n cn) z n – 1收敛． 因此? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径R1 ? R． 特别地，若? n ? 0 cn z n的收敛半径为+?，则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为+?． step2. 当R是非负实数时．对任意的满足R r | z |的实数r， 根据收敛半径定义，? n ? 0 cn r n发散．从而? n ? 0 | cn r n |发散． 当n r + 1时，| cn r n | = | r/n | · | (n cn) r n – 1 | ? | (n cn) r n – 1 |； 因此，? n ? 0 | (n cn) r n – 1 |发散． 由Abel定理，? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径R1 ? r． 由r的任意性，得R1 ? R． 特别地，若? n ? 0 cn z n的收敛半径为0，则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为0． step3. 综合step1和step2的结论，当R为正实数时，也有R1 = R． 即若? n ? 0 cn z n的收敛半径为R，则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为R． [这个证明中，我们没有用到条件lim n?? (cn + 1/cn)存在( ? ? )，说明该条件是可以去掉的．因为一般的幂级数并不一定满足这个条件，因此去掉这个条件来证明结论是有意义的．] 4. 设? n ? 0 cn z n的收敛半径为R (0 R +?)，并且在收敛圆周上一点绝对收敛，试证明这个级数对所有的点z : | z | ? R为绝对收敛且一致收敛． 【解】设z0在收敛圆周上，且? n ? 0 | cn z0 n |绝对收敛． 那么对于点z : | z | ? R，都有| z | ? | z0 |． 因此级数? n ? 0 | cn z n |收敛，即? n ? 0 cn z n绝对收敛． 而由Weierstrass判别法知知级数? n ? 0 cn z n对所有的在闭圆| z | ? R上一致收敛． 6. 写出e z ln(1 + z)的幂级数展式至含z 5项为止，其中ln(1 + z)|z = 0 = 0． 【解】在割去射线L = { z?? | Im(z) = 0，Re(z) ? ?1}的z平面上，能分出Ln(1 + z)的无穷多个单值解析分支(Ln(1 + z))k = ln| (1 + z) | + i arg(1 + z) + 2k? i ，k??． 由条件ln(1 + z)|z = 0 = 0，知arg(1) + 2k? = 0，即k = 0． 所以，满足条件的分支为ln(1 + z) = ln| (1 + z) | + i arg(1 + z)． 因为(ln(1 + z))’ = 1/(1 + z) = ? n ? 0 (?1)n z n，| z | 1． ?z : | z | 1，从沿0到z的曲线逐项积分得 ln(1 + z) ? ln(1 + z)|z = 0 = ? n ? 0 ((?1)n