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p178第四章习题(一)[ 3, 4, 6, 7(4), 10, 12, 13, 14 ]
3. 如果lim n?? (cn + 1/cn)存在( ? ? ),试证下列三个幂级数有相同的收敛半径:
(1) ? n ? 0 cn z n;(2) ? n ? 0 (cn/(n + 1)) z n + 1;(3) ? n ? 0 (n cn) z n – 1.
【解】事实上,我们只要证明下面的命题:
若? n ? 0 cn z n的收敛半径为R,则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为R.
从这个命题,就可以得到幂级数(1)的收敛半径与幂级数(2)的收敛半径相同,幂级数(3)的收敛半径与幂级数(1)的收敛半径相同.
step1. 当R是正实数或+?时.若| z | R,则存在r??使得| z | r R.
因? n ? 0 cn z n的收敛半径为R,根据收敛半径定义及Abel定理,
知? n ? 0 | cn r n |收敛.
因| (n cn) z n – 1 | = ( | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ) · | cn r n |;
而lim n?? ( | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ) = 0,故?M 0使得0 ? | n/r | · ( | z | /r )n – 1 ? M.
所以| (n cn) z n – 1 | ? M · | cn r n |.
由Weierstrass判别法知? n ? 0 | (n cn) z n – 1 |收敛,所以? n ? 0 (n cn) z n – 1收敛.
因此? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径R1 ? R.
特别地,若? n ? 0 cn z n的收敛半径为+?,则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为+?.
step2. 当R是非负实数时.对任意的满足R r | z |的实数r,
根据收敛半径定义,? n ? 0 cn r n发散.从而? n ? 0 | cn r n |发散.
当n r + 1时,| cn r n | = | r/n | · | (n cn) r n – 1 | ? | (n cn) r n – 1 |;
因此,? n ? 0 | (n cn) r n – 1 |发散.
由Abel定理,? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径R1 ? r.
由r的任意性,得R1 ? R.
特别地,若? n ? 0 cn z n的收敛半径为0,则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为0.
step3. 综合step1和step2的结论,当R为正实数时,也有R1 = R.
即若? n ? 0 cn z n的收敛半径为R,则? n ? 0 (n cn) z n – 1的收敛半径也为R.
[这个证明中,我们没有用到条件lim n?? (cn + 1/cn)存在( ? ? ),说明该条件是可以去掉的.因为一般的幂级数并不一定满足这个条件,因此去掉这个条件来证明结论是有意义的.]
4. 设? n ? 0 cn z n的收敛半径为R (0 R +?),并且在收敛圆周上一点绝对收敛,试证明这个级数对所有的点z : | z | ? R为绝对收敛且一致收敛.
【解】设z0在收敛圆周上,且? n ? 0 | cn z0 n |绝对收敛.
那么对于点z : | z | ? R,都有| z | ? | z0 |.
因此级数? n ? 0 | cn z n |收敛,即? n ? 0 cn z n绝对收敛.
而由Weierstrass判别法知知级数? n ? 0 cn z n对所有的在闭圆| z | ? R上一致收敛.
6. 写出e z ln(1 + z)的幂级数展式至含z 5项为止,其中ln(1 + z)|z = 0 = 0.
【解】在割去射线L = { z?? | Im(z) = 0,Re(z) ? ?1}的z平面上,能分出Ln(1 + z)的无穷多个单值解析分支(Ln(1 + z))k = ln| (1 + z) | + i arg(1 + z) + 2k? i ,k??.
由条件ln(1 + z)|z = 0 = 0,知arg(1) + 2k? = 0,即k = 0.
所以,满足条件的分支为ln(1 + z) = ln| (1 + z) | + i arg(1 + z).
因为(ln(1 + z))’ = 1/(1 + z) = ? n ? 0 (?1)n z n,| z | 1.
?z : | z | 1,从沿0到z的曲线逐项积分得
ln(1 + z) ? ln(1 + z)|z = 0 = ? n ? 0 ((?1)n
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